Види вимірювальних шкал. Теорія вимірів Нульове значення мають шкали

Шкали вимірів

У практичній діяльності необхідно проводити вимірювання різних величин, що характеризують властивості тіл, речовин, явищ і процесів. Як було показано в попередніх розділах, деякі властивості виявляються лише якісно, ​​інші – кількісно. Різноманітні прояви (кількісні чи якісні) будь-якої властивості утворюють множини, відображення елементів яких на впорядковане безліч чисел або у загальному випадку умовних знаків утворюють шкали виміру цих властивостей. Шкала вимірів кількісної властивості є шкалою ФВ. Шкала фізичної величини - це впорядкована послідовність значень ФВ, прийнята за згодою виходячи з результатів точних вимірів. Терміни та визначення теорії шкал вимірювань викладено у документі МІ 2365-96.

Відповідно до логічної структурою прояви властивостей розрізняють п'ять основних типів шкал вимірів.

1. Шкала найменувань (шкала класифікації). Такі шкали використовуються для класифікації емпіричних об'єктів, властивості яких виявляються лише щодо еквівалентності. Ці властивості не можна вважати фізичними величинамитому шкали такого виду не є шкалами ФВ. Це найпростіший тип шкал, заснований на приписуванні якісним властивостям об'єктів чисел, які відіграють роль імен.

У шкалах найменувань, у яких віднесення властивостей, що відбиваються, до того чи іншого класу еквівалентності здійснюється з використанням органів чуття людини, найбільш адекватний результат, обраний більшістю експертів. При цьому велике значення має правильний вибір класів еквівалентної шкали – вони повинні надійно відрізнятися спостерігачами, експертами, які оцінюють цю властивість. Нумерація об'єктів за шкалою найменувань здійснюється за принципом: "не приписуй одну й ту саму цифру різним об'єктам". Числа, приписані об'єктам, можуть бути використані для визначення ймовірності або частоти появи даного об'єкта, але їх не можна використовувати для підсумовування та інших математичних операцій.

Оскільки дані шкали характеризуються лише відносинами еквівалентності, то них немає поняття нуля, " більше " чи " менше " і одиниці виміру. Прикладом шкал найменувань є поширені атласи кольорів, призначені для ідентифікації кольору.

2. Шкала порядку (шкала рангів). Якщо властивість даного емпіричного об'єкта виявляє себе щодо еквівалентності та порядку за зростанням або зменшенням кількісного прояву властивості, то для нього може бути побудована шкала порядку. Вона є монотонно зростаючою або спадною і дозволяє встановити відношення більше/менше між величинами, що характеризують зазначену властивість. У шкалах порядку існує чи немає нуль, але принципово не можна запровадити одиниці виміру, оскільки їм встановлено ставлення пропорційності і немає можливості судити у скільки разів більше чи менше конкретні прояви якості.

У випадках, коли рівень пізнання явища не дозволяє точно встановити відносини, що існують між величинами даної характеристики, або застосування шкали зручне і достатньо для практики використовують умовні (емпіричні) шкали порядку. Умовна шкала - Це шкала ФВ, вихідні значення якої виражені в умовних одиницях. Наприклад, шкала в'язкості Енглера, 12-бальна шкала Бофорта для сили морського вітру.

Широкого поширення набули шкали порядку з нанесеними ними реперними точками. До таких шкал, наприклад, відноситься шкала Моос для визначення твердості мінералів, яка містить 10 опорних (реперних) мінералів з різними умовними числами твердості: тальк - 1; гіпс – 2; кальцій – 3; флюорит – 4; апатит – 5; ортоклаз – 6; кварц – 7; топаз – 8; корунд – 9; алмаз - 10. Віднесення мінералу до тієї чи іншої градації твердості здійснюється на підставі експерименту, який полягає в тому, що матеріал, що випробуваний, дряпається опорним. Якщо після дряпання випробуваного мінералу кварцом (7) на ньому залишається слід, а після ортоклазу (6) - не залишається, то твердість випробуваного матеріалу становить більше 6, але менше 7. Більш точної відповіді в цьому випадку дати неможливо.

В умовних шкалах однаковим інтервалам між розмірами даної величини не відповідають однакові розмірності чисел, що відображають розміри. За допомогою цих чисел можна знайти ймовірності, моди, медіани, кванти, проте їх не можна використовувати для підсумовування, множення та інших математичних операцій.

Визначення значення величин з допомогою шкал порядку не можна вважати виміром, оскільки у цих шкалах неможливо знайти введені одиниці виміру. Операцію з приписування кількості необхідної величини слід вважати оцінюванням. Оцінювання за шкалами порядку є неоднозначним і умовним, про що свідчить розглянутий приклад.

3. Шкала інтервалів (шкала різниць). Ці шкали є подальшим розвиткомшкал порядку та застосовуються для об'єктів, властивості яких задовольняють відносинам еквівалентності, порядку та адитивності. Шкала інтервалів складається з однакових інтервалів, має одиницю виміру та довільно обраний початок - нульову точку. До таких шкал належить літочислення за різними календарями, у яких початок відліку прийнято чи створення світу, чи різдво Христове тощо. Температурні шкали Цельсія, Фаренгейта та Реомюра також є шкалами інтервалів.

На шкалі інтервалів визначено дії додавання та віднімання інтервалів. Справді, за шкалою часу інтервали можна підсумовувати чи віднімати і порівнювати, скільки разів один інтервал більше іншого, але складати дати будь-яких подій просто безглуздо.

Шкала інтервалів величини Q описується рівнянням

де q - числове значення величини; - Початок відліку шкали; - одиниця аналізованої величини. Така шкала повністю визначається завданням початку відліку шкали та одиниці даної величини.

Задати шкалу практично можна двома шляхами. При першому з них вибираються два значення та величини, які відносно просто реалізовані фізично. Ці значення називаються опорними точками,або основними реперами,а інтервал () - основним інтервалом.Крапка приймається за початок відліку, а величина за одиницю Q. У цьому n вибирається таким, щоб було цілою величиною.

Переклад однієї шкали інтервалів , в іншу здійснюється за формулою

(2.2)

Числове значення інтервалу між початками відліку по шкалах, що розглядається, виміряного в градусах Фаренгейта ( 32. Перехід від температури за шкалою Фаренгейта до температури за шкалою Цельсія проводиться за формулою .

При другому шляху завдання шкали одиниця відтворюється безпосередньо як інтервал, його деяка частка або деяка кількість інтервалів розмірів даної величини, а початок відліку вибирають щоразу по-різному в залежності від конкретних умов явища, що вивчається. Приклад такого підходу - шкала часу, в якій 1 с = 9192631770 періодів випромінювання, що відповідають переходу між двома надтонкими рівнями основного стану атома цезію-133. За початок відліку приймається початок явища, що вивчається.

4. Шкала відносин . Ці шкали описують властивості емпіричних об'єктів, які задовольняють відносинам еквівалентності, порядку та адитивності (шкали другого роду -адитивні), а в ряді випадків і пропорційності (шкали першого роду - пропорційні). Їх прикладами є шкала маси (другого роду), термодинамічної температури (першого роду).

У шкалах відносин існує однозначний природний критерій нульового кількісного прояви якості та одиниця вимірів, встановлена ​​за згодою. З формальної точки зору шкала відносин є шкалою інтервалів із природним початком відліку. До значень, отриманих за цією шкалою, застосовуються всі арифметичні дії, що має важливе значення при вимірі ФВ.

Шкали відносин – найдосконаліші. Вони описуються рівнянням Q = q[Q], де Q - ФВ, на яку будується шкала, [Q] - її одиниця виміру, q - числове значення ФВ. Перехід від однієї шкали відносин до іншої відбувається відповідно до рівняння .

5. Абсолютні шкали. Деякі автори використовують поняття абсолютних шкал, під якими розуміють шкали, що мають всі ознаки шкал відносин, але додатково мають природне однозначне визначення одиниці виміру і не залежать від прийнятої системи одиниць виміру. Такі шкали відповідають відносним величинам: коефіцієнту посилення, ослаблення та інших. Для освіти багатьох похідних одиниць у системі СІ використовуються безрозмірні та лічильні одиниці абсолютних шкал.

Зазначимо, що шкали найменувань та порядку називають неметричними (концептуальними),а шкали інтервалів та відносин - метричними (матеріальними).Абсолютні та метричні шкали відносяться до розряду лінійних. Практична реалізація шкал вимірювань здійснюється шляхом стандартизації як самих шкал та одиниць вимірювань, так і, у необхідних випадках, способів та умов їх однозначного

Види та методи вимірювань

Види та методи вимірювань.

Вимірювання як експериментальні процедури визначення значень вимірюваних величин дуже різноманітні, що пояснюється безліччю вимірюваних величин, різним характером їх зміни у часі, різними вимогами та точності вимірювань тощо.

Вимірювання залежно від способу обробки експериментальних даних для знаходження результату відносять до прямих, непрямих, сумісних та сукупних.

Прямий вимір - Вимір, при якому шукане значення величини знаходять безпосередньо з дослідних даних в результаті виконання вимірювання.

(Приклад – вимір вольтметром напруги джерела).

Непрямий вимір - Вимір, при якому шукане значення величини знаходять на підставі відомої залежностіміж цією величиною та величинами, що піддаються прямим вимірам.

(Наприклад: опір резистора R знаходять із рівняння R=U/I, яке підставляють виміряні значення падіння напруги U на резисторі і струму I через нього).

Спільні виміри – одночасні зміни кількох неодноєменних величин знаходження залежності між ними. У цьому вирішують систему рівнянь.

(Наприклад: визначають залежність опору резистора від температури R t = R 0 (1+At+Bt 2); вимірюючи опір резистора при трьох різних температурах, становлять систему трьох рівнянь, з яких знаходять параметри R 0 , A і B залежності).

Сукупні виміри – одночасні виміри кількох однойменних величин, у яких шукані значення величин знаходять рішенням системи рівнянь, складених з результатів прямих вимірів різних поєднань цих величин. (Наприклад: вимірювання опорів резисторів, з'єднаних трикутником шляхом вимірювань опорів між різними вершинами трикутника; за результатами трьох вимірювань визначають опори резисторів).

Взаємодія засобів вимірювань з об'єктом ґрунтується на фізичних явищах, сукупність яких складає принцип вимірювань, а сукупність прийомів використання принципу та засобів вимірювань називають методом вимірів .

Числове значення вимірюваної величини утворюється шляхом її порівняння з відомою величиною, яка відтворюється певним видом засобів вимірювань – мірою.

Залежно від способу застосування міри відомої величини розрізняють метод безпосередньої оцінки та методи порівняння з мірою.

При метод безпосередньої оцінки значення вимірюваної величини визначають безпосередньо за відліковим пристроєм вимірювального приладу прямого перетворення, шкала якого заздалегідь була градуйована за допомогою багатозначної міри, що відтворює відомі значення вимірюваної величини.

(Приклад: вимірювання сили струму за допомогою амперметра).

Методи порівняння з мірою – методи, у яких виробляється порівняння вимірюваної величини і величини відтворюваною мірою.

Порівняння може бути безпосереднім чи опосередковеним через інші величини, однозначно пов'язані з першими.

Відмінною рисою методів порівняння є безпосередня участь у процесі вимірювання міри відомої величини, однорідної з вимірюваною.

Група методів порівняння з мірою включає такі методи: нульовий , диференціальний , заміщення і збіги .

При нульовому методі вимірювання різниця вимірюваної величини та відомої величини або різниця ефектів, вироблених вимірюваної та відомої величинами, зводиться в процесі вимірювання до нуля, що фіксується високочутливим приладом – нуль-індикатором.

При високій точності заходів, що відтворюють відому величину, і високій чутливості нуль-індикатора може бути досягнута висока точність вимірювань.

(Приклад: вимірювання опору резистора за допомогою чотириплечового мосту, в якому падіння напруги на резисторі з невідомим опором врівноважується падінням напруги на резисторі відомого опору).

При диференційному методі різницю вимірюваної величини і величини відомої, відтворюваної мірою, вимірюється за допомогою вимірювального приладу.

Невідома величина визначається за відомою величиною та виміряною різницею. В цьому випадку врівноваження вимірюваної величини відомою величиною проводиться не повністю і в цьому полягає відмінність диференціального методу від нульового. Диференціальний методтакож може забезпечити високу точність вимірювання, якщо відома величина відтворюється з високою точністю і різниця між нею та невідомою величиною мала.

Приклад:вимірювання напруги U x постійного струму за допомогою дискретного дільника R напруги U та вольтметра V

Рис.1.1. Схема виміру напруги диференціальним методом.

Невідома напруга U x = U 0 + U x , де U 0 - Відома напруга, U x - Виміряна різниця напруг.

При метод заміщення проводиться почергове підключення на вхід приладу вимірюваної величини та відомої величини та за двома показаннями приладу оцінюється значення невідомої величини. Найбільш висока точність виміру виходить у тому випадку, коли в результаті підбору відомої величини прилад дає той же вихідний сигнал, що і при невідомій величині.

приклад: вимірювання малої напруги за допомогою високочутливого гальванометра, до якого спочатку підключають джерело невідомої напруги і визначають відключення покажчика, а потім за допомогою регульованого джерела відомої напруги добуваються того ж відхилення покажчика. При цьому відома напруга дорівнює відомому.

При методі збігу вимірюють різницю між вимірюваною величиною і величиною, що відтворюється мірою, використовуючи збіг позначок шкал або періодичних сигналів.

приклад: вимірювання частоти обертання деталі за допомогою миготливої ​​лампи стробоскопа: спостерігаючи положення мітки на деталі, що обертається в моменти спалахів лампи, але частота спалахів і зміщення мітки визначають частоту обертання деталі.

Похибка вимірів. Основні поняття та види похибок

. Основні поняття та види похибок.

Процедура вимірів складається з наступних основних етапів:

- прийняті моделі об'єкта виміру;

- вибір методу вимірів;

- вибір засобів вимірів;

- проведення експерименту для одержання чисельного значення результату виміру.

Різні недоліки, властиво цим етапам, призводять до того, що результат виміру відрізняється від справжнього значення вимірюваної величини.

Причини виникнення похибки можуть бути різними.

Вимірювальні перетворення здійснюються з використанням різних фізичних явищ, на підставі яких можна встановити співвідношення між вимірюваною величиною об'єкта дослідження та вихідним сигналом засобу вимірювань, за яким оцінюється результат вимірювання.

Точно встановити це співвідношення ніколи не вдається внаслідок недостатньої вивченості об'єкта дослідження і неадекватності його моделі, неможливості точного обліку впливу зовнішніх факторів, недостатньої розробленості теорії фізичних явищ, покладених в основу вимірювання, використання простих, але наближених аналітичних залежностей замість більш точних, але складних і і т.д.

Поняття "похибка" - одне з центральних у метрології, де використовуються поняття "похибка результату виміру" та "похибка засобу виміру". Похибка результату виміру- це різниця між результатом вимірювання X та істинним (або дійсним) значенням Q вимірюваної величини:

Вона вказує межі невизначеності значення вимірюваної величини. Похибка засобу вимірювання- Різниця між показанням СІ та істинним (дійсним) значенням вимірюваної ФВ. Вона характеризує точність результатів вимірів, проведених цим засобом.

Ці два поняття багато в чому близькі один до одного та класифікуються за однаковими ознаками.

за характеру проявупохибки поділяються на випадкові, систематичні, прогресуючі та грубі (промахи).

Зауважимо, що з наведеного вище визначення похибки ніяк не випливає, що вона повинна складатися з будь-яких складових. Розподіл похибки на складові було запроваджено зручності обробки результатів вимірів з характеру їх прояви. У процесі формування метрології було виявлено, що похибка перестав бути постійної величиною. Шляхом елементарного аналізу встановлено, що її частина проявляється як стала величина, іншу - змінюється непередбачувано. Зги частини назвали систематичною та випадковою похибками.

Як буде показано в розд. 4.3, зміна похибки у часі є нестаціонарним випадковим процесом. Поділ похибки на систематичну, прогресуючу та випадкову складові є спробою описати різні ділянки частотного спектру цього широкосмугового процесу: інфранізкочастотний, низькочастотний і високочастотний.

Випадкова похибка- складова похибки вимірювання, що змінюється випадковим чином (за знаком і значенням) у серії повторних вимірювань одного й того ж розміру ФВ, проведених з однаковою ретельністю в тих самих умовах. У появі таких похибок (рис. 4.1) немає будь-якої закономірності, вони виявляються при повторних вимірах однієї й тієї ж величини як деякого розкиду одержуваних результатів. Випадкові похибки є неминучими, непереборними і завжди присутні в результаті вимірювання. Опис випадкових похибок можливе лише на основі теорії випадкових процесів та математичної статистики.

На відміну від систематичних випадкових похибок не можна виключити з результатів вимірювань шляхом введення поправки, проте їх можна істотно зменшити шляхом збільшення числа спостережень. Тому для отримання результату, що мінімально відрізняється від істинного значення вимірюваної величини, проводять багаторазові вимірювання необхідної величини з наступною Математичною обробкою експериментальних даних.

Велике значення має вивчення випадкової похибки як функції номера спостереження i чи відповідного моменту часу 1 проведення вимірювань, тобто. Д; = A(t.). Окремі значення похибки є значеннями функції A(t), отже похибка вимірювання є випадковою функцією часу. Під час проведення багаторазових вимірів виходить одна реалізація такої функції. Саме така реалізація показана на рис. 4.1. Повторення серії вимірювань дасть нам іншу реалізацію цієї функції, що відрізняється від першої, і т. д. Похибка, що відповідає кожному i-му виміру, є перерізом випадкової функції A(t). У кожному перерізі цієї функції можна визначити середнє значення, навколо якого групуються похибки у різних реалізаціях. Якщо через отримані в такий спосіб середні значення провести плавну криву, вона характеризуватиме загальну тенденцію зміни похибки у часі.

Систематична похибка- складова похибки вимірювання, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї й тієї ФВ. Постійна та змінна систематичні похибки показані на рис. 4.2. Їх відмітна ознакаполягає в тому, що вони можуть бути передбачені, виявлені та завдяки цьому майже повністю усунуті запровадженням відповідної поправки.

Слід зазначити, що в останнім часомнаведене вище визначення систематичної похибки зазнає обґрунтованої критики, особливо у зв'язку з технічними вимірами. Дуже аргументовано пропонується вважати систематичну похибку специфічною, "виродженою" випадковою величиною (див. разд. 5.1), що володіє деякими, але не всіма властивостями випадкової величини, що вивчається в теорії ймовірностей та математичної статистики. Її властивості, які необхідно враховувати при поєднанні складових похибки, відбиваються тими самими характеристиками, що й властивості "справжніх" випадкових величин: дисперсією (середнім квадратичним відхиленням) та коефіцієнтом взаємної кореляції.

Прогресуюча (дрейфова) похибка- це непередбачувана похибка, що повільно змінюється у часі. Вперше це поняття запроваджено у монографії М.Ф. Малікова "Основи метрології", виданої в 1949 р. Відмінні риси прогресуючих похибок:

Вони можуть бути скориговані виправленнями тільки в даний момент часу, а далі знову непередбачено змінюються;

Зміни прогресуючих похибок у часі – нестаціонарний випадковий процес, і тому в рамках добре розробленої теорії стаціонарних випадкових процесів вони можуть
бути описані лише з відомими застереженнями.

Поняття прогресуючої похибки широко використовується щодо динаміки похибок СІ і метрологічної надійності останніх.

Груба похибка (промах)- це випадкова похибка результату окремого спостереження, що входить у ряд вимірів, яка даних умов різко відрізняється від інших результатів цього ряду. Вони, зазвичай, виникають через помилок чи неправильних дій оператора (його психофізіологічного стану, неправильного відліку, помилок у записах чи обчисленнях, неправильного включення приладів чи збоїв у роботі і др.). Можливою причиною виникнення промахів можуть бути короткочасні різкі зміни умов проведення вимірювань. Якщо промахи виявляються в процесі вимірювань, результати, що їх містять, відкидають. Однак найчастіше промахи виявляють лише за остаточної обробки результатів вимірювань за допомогою спеціальних критеріїв, які розглянуті в гол. 7.

за способу вираження , розрізняють абсолютну, відносну та наведену похибки.

Абсолютна похибкаописується формулою (4.1) та виражається в одиницях вимірюваної величини.

Однак вона не може повною мірою служити показником точності вимірювань, так як одне і те ж її значення, наприклад, Д = 0,05 мм при X = 100 мм відповідає досить високій точності вимірювань, а при X = 1 мм - низькій. Тому й запроваджується поняття відносної похибки. Відносна похибка- це відношення абсолютної похибки виміру до істинному значеннювимірюваної величини:

Ця наочна характеристика точності результату вимірювання не годиться для нормування похибки СІ, тому що при зміні значень Q набуває різних значень аж до нескінченності при Q = 0. У зв'язку з цим для вказівки та нормування похибки СІ використовується ще один різновид похибки - наведений.

Наведена похибка -це відносна похибка, в якій абсолютна похибка СІ віднесена до умовно прийнятого, постійного у всьому діапазоні вимірів або його частини:

Умовно прийняте значення Q N називають нормуючим.Найчастіше за нього приймають верхню межу вимірювань даного СІ, стосовно яких і використовується головним чином поняття "наведена похибка".

Залежно від місця виникненнярозрізняють інструментальні, методичні та суб'єктивні похибки.

Інструментальна похибкаобумовлена ​​похибкою застосовуваного СІ. Іноді цю похибку називають апаратурної.

Методична, похибкавимірювання обумовлено:

Відмінністю прийнятої моделі об'єкта виміру від моделі, адекватно описує його властивість, що визначається шляхом виміру;

Вплив способів застосування СІ. Це має місце, наприклад, при вимірі напруги вольтметром із кінцевим значенням внутрішнього опору. В даному випадку вольтметр шунтує ділянку ланцюга, на якому вимірюється напруга, і воно виявляється меншим, ніж було до приєднання вольтметра;

Вплив алгоритмів (формул), за якими виробляються обчислення результатів вимірів;

Вплив інших факторів, не пов'язаних із властивостями використовуваних засобів вимірювання.

Відмінною особливістю методичних похибок є те, що вони не можуть бути вказані в нормативно-технічній документації на СІ, оскільки від нього не залежать, а повинні визначатися оператором у кожному конкретному випадку. У зв'язку з цим оператор повинен чітко розрізняти величину і величину, що підлягає вимірюванню, що фактично вимірюється.

Суб'єктивна (особиста) похибкавимірювання обумовлена ​​похибкою відліку оператором показань за шкалами СІ, діаграмами реєструючих приладів. Вони викликаються станом оператора, його становищем під час роботи, недосконалістю органів чуття, ергономічними властивостями СІ. Характеристики особистої похибки визначають на основі нормованої номінальної ціни поділу шкали вимірювального приладу (або діаграмного паперу реєструючого приладу) з урахуванням здатності "середнього оператора" до інтерполяції в межах поділу шкали.

за залежності абсолютної похибки від значень вимірюваної величинирозрізняють похибки (рис. 4.4):

адитивні, що не залежать від вимірюваної величини;

мультиплікативні, які прямо пропорційні вимірюваній величині;

нелінійні, що мають нелінійну залежність від вимірюваної величини

Ці похибки застосовують в основному для опису метрологічних характеристик СІ. Поділ похибок на адитивні, мультиплікативні та нелінійні дуже суттєво при вирішенні питання про нормування та математичний опис похибок СІ.

Приклади адитивних похибок – від постійного вантажу на чашці терезів, від неточної установки на нуль стрілки приладу перед вимірюванням, від термо-ЕРС у ланцюгах постійного струму. Причинами виникнення мультиплікативних похибок можуть бути зміна коефіцієнта посилення підсилювача, зміна жорсткості мембрани датчика манометра або пружини приладу, зміна опорної напруги в цифровому вольтметрі.

Мал. (1).4. Адитивна (а), мультиплікативна (б) та нелінійна (в) похибки

за впливу зовнішніх умоврозрізняють основну та додаткову похибки СІ. Основнийназивається похибка СІ, яка визначається в нормальних умовахйого застосування. Для кожного СІ в нормативно-технічних документах обумовлюються умови експлуатації - сукупність величин, що впливають (температура навколишнього середовища, вологість, тиск, напруга і частота мережі живлення та ін), при яких нормується його похибка. Додатковою,називається похибка СІ, що виникає внаслідок відхилення будь-якої з впливових величин.

У залежно від впливу характеру зміни вимірюваних величин похибки СІ ділять на статичні та динамічні. Статична похибка- це похибка СІ застосовуваного вимірювання ФВ, прийнятої за постійну. Динамічнійназивається похибка СІ, що виникає додатково при вимірі змінної ФВ і зумовлена ​​невідповідністю його реакції на швидкість (частоту) зміни сигналу, що вимірюється.

Теорія вимірів- Це теорія про класифікацію змінних величин за природою інформації, яка міститься в числах - значення цих змінних величин. Походження змінної величининакладає обмеження на безліч дій, які можна робити із цією величиною. Іншими словами, для кожної змінної величини існує клас допустимих перетворень (КДП), які коректно застосовні до всіх значень цієї величини.

Класифікація величин за вимірністю було запропоновано С.С.Стивенсом 1946 року. Кожна група величин, що мають загальні допустимі перетворення, називається шкалою вимірів.

Шкали вимірів

Номінальна шкала

У шкалі найменувань допустимими є всі взаємно однозначні перетворення. У цій шкалі числа використовуються як позначки, тільки для розрізнення об'єктів. У шкалі найменувань виміряно, наприклад, номери телефонів, автомашин, паспортів, студентських квитків. Стать людей також виміряний у шкалі найменувань, результат виміру приймає два значення – чоловічий, жіночий. Очевидно, що немає сенсу складати номери телефонів або множити серії паспортів.

КДП: бієктивні перетворення.

Порядкова шкала

У порядковій шкалі числа використовуються як для розрізнення об'єктів, але й встановлення порядку між об'єктами. Найпростішим прикладом є оцінки знань учнів. Зауважимо, що в середній школі застосовуються оцінки 2, 3, 4, 5, а в вищій школіТак само сенс виражається словесно - незадовільно, задовільно, добре, добре. Цим підкреслюється "нечисловий" характер оцінок знань учнів. У порядковій шкалі допустимими є всі монотонні перетворення.

КДП: все строго монотонні перетворення

Шкала інтервалів

За шкалою інтервалів вимірюють величину потенційної енергії або координати точки на прямій. У цих випадках на шкалі не можна відзначити ні природний початок відліку, ні природну одиницю виміру. Дослідник повинен сам задати точку відліку та сам вибрати одиницю вимірювання. Допустимими перетвореннями у шкалі інтервалів є лінійні зростаючі перетворення, тобто. лінійні функції. Температурні шкали Цельсія та Фаренгейта пов'язані саме такою залежністю: °C = 5/9 (°F - 32), де °C - температура (у градусах) за шкалою Цельсія, а °F - температура за шкалою Фаренгейта.

КДП: всі перетворення виду

Шкала відносин

У шкалах відносин є природний початок відліку – нуль, але немає природної одиниці виміру. За шкалою відносин виміряно більшість фізичних одиниць: маса тіла, довжина, заряд, ціни в економіці. Допустимими перетвореннями шкалою відносин є подібні (змінюють лише масштаб). Інакше кажучи, лінійні зростаючі перетворення без вільного члена. Приклади використання таких перетворень: перерахунок цін з однієї валюти в іншу за фіксованим курсом, переведення маси з кілограмів у фунти.

КДП: всі перетворення виду

Шкала різниць

У шкалі різниць є одиниця виміру, але немає природного початку відліку. Час вимірюється за шкалою різниць, якщо рік (або добу - від полудня до полудня) приймаємо природною одиницею виміру, і за шкалою інтервалів у загальному випадку. на сучасному рівнізнань природного початку відліку часу вказати не можна. Допустимими перетвореннями шкалою різниць є зрушення.

КДП: всі перетворення виду

Абсолютна шкала

Тільки абсолютної шкали результати вимірів - числа у звичному значенні слова. Прикладом є кількість людей у ​​кімнаті. Для абсолютної шкали допустимим є лише тотожне перетворення.

КДП:

Ієрархія шкал вимірів

Усі шкали ділять також на 2 великі групи: якісніі кількісні. До якісних шкал відносять номінальну та порядкову, до кількісних – усі інші. Цей поділ показує різницю в природі шкал: наприклад, неможливо стверджувати, що шкільна оцінка 2 настільки ж гірше оцінки 4, наскільки 3 гірше оцінки 5, тому порядкові шкали відносять до якісних. У той же час, для тіл різної маси аналогічне твердження коректне: тіло масою 5 кг настільки ж важче тіла масою 3 кг, наскільки тіло масою 4 кг важче тіла масою 2 кг. Таким чином, шкали відносин – це кількісні шкали.

Шкали порядку дозволяють не тільки розбивати об'єкти на класи, а й упорядковувати класи за зростанням (зменшенням) досліджуваної ознаки: про об'єкти, віднесені до одного з класів, відомо, але тільки те, що вони тотожні один одному, але також, що вони мають вимірюваний. властивістю більшою чи меншою мірою, ніж об'єкти з інших класів. Але при цьому порядкові шкали не можуть відповісти на питання, на скільки (у скільки разів), ця властивість виражена сильніше об'єктів з одного класу, ніж у об'єктів з іншого класу. Прикладами шкал порядку можуть бути рівень освіти, військові та академічні звання, тип поселення (велике - середнє - мале місто - село), ​​деякі природно наукові шкали (твердість мінералів, сила шторму). Так, можна сказати, що 6-бальний шторм свідомо сильніший, ніж 4-бальний, але не можна визначити, наскільки він сильніший; випускник університету має більш високий освітній рівень, ніж випускник середньої школи, але різниця в рівні освіти не піддається безпосередньому виміру. Упорядковані класи досить часто нумерують у порядку зростання (зменшення) вимірюваної ознаки. Однак через те, що відмінності у значенні ознаки точного виміру не піддаються, до шкал порядку, також як до номінальних шкал, дії арифметики не застосовують. Виняток становлять оціночні шкали, під час використання яких об'єкт отримує (чи сам виставляє) оцінки, з певної кількості балів. До таких шкал відносяться, наприклад, шкільні оцінки, для яких вважається цілком допустимим розраховувати, наприклад, середній бал з атестату зрілості. Строго кажучи, подібні шкали є окремим випадком шкали порядку, тому що не можна визначити, на скільки знання "відмінника" більше, ніж знання "трієчника", але в силу деяких теоретичних міркувань з ними часто поводяться, як зі шкалами вищого рангу - шкалами інтервалів . Іншим окремим випадком шкали порядку є рангова шкала, що застосовується зазвичай у тих випадках, коли ознака свідомо не піддається об'єктивному виміру (наприклад, краса або ступінь ворожості), або коли порядок об'єктів більш важливий, ніж точна величина відмінностей між ними (місця, зайняті у спортивних змаганнях). У разі експерту іноді пропонують проранжувати за певним критерієм певний список об'єктів, якостей, мотивів тощо.

Числа, присвоєні об'єктам у цій шкалі, будуть говорити про ступінь виразності вимірюваної властивості у цих об'єктів, але при цьому рівні різниці чисел не означатимуть рівних різниць у кількостях вимірюваних властивостей. Залежно від бажання дослідника більша кількість може означати більший ступінь виразності вимірюваної властивості (як у шкалі твердості мінералів) або меншу (як у таблиці результатів спортивних змагань), але в будь-якому випадку, між числами та відповідними об'єктами зберігається відношення порядку. Шкала порядку задається позитивними числами, і чисел у цій шкалі може бути стільки, скільки існує об'єктів, що вимірюваються. Приклади шкал порядку в психології: рейтинг піддослідних за якоюсь ознакою, результати експертної оцінкивипробуваних і т.д.

Якщо можна встановити порядок проходження психологічних об'єктів відповідно до виразності якоїсь властивості, то використовується порядкова шкала.

Порядкова шкала утворюється, якщо на множині реалізовано одне бінарне відношення - порядок (відносини "більше" і "менше"). Побудова шкали порядку - процедура складніша, ніж створення шкали найменувань. Вона дозволяє зафіксувати ранг, або місце кожного значення змінної по відношенню до інших значень. Цей ранг може бути результатом встановлення порядку між якимись стимулами або їх атрибутами самим випробуваним (первинний показник методик ранжування, або рейтингових процедур), але може і встановлюватися експериментатором як вторинний показник (наприклад, при ранжируванні частот позитивних відповідей піддослідних на питання, що стосуються до різних тем).

Класи еквівалентності, виділені за допомогою шкали найменувань, можуть бути впорядковані з певної основи. Розрізняють шкалу суворого порядку (сувора впорядкованість) і шкалу слабкого порядку (слабка впорядкованість). У першому випадку на елементах множини реалізуються відносини "більше" і "менше", а в другому - "не більше або одно" і "менше або одно".

Значення величин можна замінювати на квадрати, логарифми, нормалізувати і т.д. За таких перетвореннях значень величин, визначених за шкалою порядку, місце об'єктів на шкалі змінюється, тобто. немає інверсій.

Ще Стівенс висловлював думку, що результати більшості психологічних вимірів у разі відповідають лише шкалам порядку.

Шкали порядку широко використовують у психології пізнавальних процесів, експериментальної психосемантиці, соціальної психології: ранжування, оцінювання, зокрема педагогічне, дають порядкові шкали. Класичним прикладом використання порядкових шкал є тестування особистісних характеристик, і навіть можливостей. Більшість фахівців у галузі тестування інтелекту вважають, що процедура вимірювання цієї властивості дозволяє використовувати інтервальну шкалу і навіть шкалу відносин.

Як би там не було, ця шкала дозволяє запровадити лінійну впорядкованість об'єктів на деякій осі ознаки. Тим самим вводиться найважливіше поняття - вимірювана властивість, або лінійна властивість, тоді як шкала найменувань використовує "вироджений" варіант інтерпретації поняття "властивість": "точкове" властивість (властивість є - властивості немає).

У порядковій (ранговій) шкалі має бути не менше трьох класів (груп): наприклад, відповіді на опитувальник: так, не знаю, ні; або - низький, середній, високий; і т.п. з тим розрахунком, щоб можна було розставити виміряні ознаки по порядку. Саме тому ця шкала і називається порядковою або ранговою шкалою.

Від класів просто перейти до числа, якщо вважати, що нижчий клас отримує ранг (код або цифру) 1, середній - 2, вищий - 3 (або навпаки). Чим більша кількість класів розбиття всієї експериментальної сукупності, тим ширші можливості статистичної обробкиотриманих даних та перевірки статистичних гіпотез.

При кодуванні порядкових змінних їм можна приписувати будь-які цифри (коди), але в цих кодах (цифрах) обов'язково повинен зберігатися порядок, або, інакше кажучи, кожна наступна цифра має бути більшою (або меншою) за попередню.

Для інтерпретації даних, отриманих за допомогою порядкової шкали, можна використовувати ширший спектр статистичних заходів (на додаток до допустимих для шкали найменувань).

Як характеристика центральної тенденції можна використовувати медіану, а як характеристику розкиду - процентили. Для встановлення зв'язку двох вимірювань допустима порядкова кореляція (т-Кендела і р-Спірмена).

Числові значення порядкової шкали не можна складати, віднімати, ділити і множити. (2, 3).

Шкала найменуваньвикористовується для опису належності об'єктів до певних класів. Це найслабша якісна шкала. Всім об'єктам одного й того ж класу присвоюється те саме число, а об'єктам різних класів – різні числа.У зв'язку з цим шкала найменувань часто називається шкалою класифікації . Вона зберігає відносини еквівалентності та відмінності між об'єктами та використовується для індексації номенклатури виробів (специфікація виробів), документів та видів інформації в АСУ, нумерації підрозділів в організації тощо. Існує безліч варіантів присвоєння чисел класам еквівалентних об'єктів. Отже, поняття єдиності відображення f полягає для шкали найменувань взаємооднозначностідопустимого перетворення. Це означає, що якщо є два варіанти приписування класам числових значень, то вони повинні бути пов'язані між собою однозначно, що дозволяє встановити зв'язок між числовими варіантами опису класів еквівалентності. Таким чином, шкала найменувань єдина з точністю до однозначного перетворення. Це означає, що в цій шкалі відсутні поняття масштабу та початку відліку.

Назва «номінальна» пояснюється тим, що така ознака дає лише нічим не пов'язані іменаоб'єктів.Ці значення різних об'єктів або збігаються, або різняться; ніякі тонші співвідношення між значеннями не зафіксовані. Шкали номінального типу допускають лише розрізнення об'єктів з урахуванням перевірки виконання відносини рівності безлічі цих елементів.

Номінальний тип шкал відповідає найпростішому виду вимірів, у якому шкальні значення використовуються лише як імена об'єктів, тому шкали номінального типу часто називають також шкалами найменувань.

Прикладами вимірювань у номінальному типі шкал можуть бути номери автомашин, телефонів, коди міст, осіб, об'єктів тощо. Єдина мета таких вимірювань виявлення відмінностей між об'єктами різних класів. Якщо кожен клас складається з одного об'єкта, шкала найменувань використовується для розрізнення об'єктів.

На рис.3.5 зображено вимір у номінальній шкалі об'єктів, що представляють три множини елементів А, У, З.

Рис.3.5. Вимірювання об'єктів у номінальній шкалі

Тут емпіричну систему представляють чотири елементи: а A, b, (с, d) С, що належать відповідним множинам. Знакова система представлена ​​цифровою шкалою найменувань, що включає елементи 1,2,...,n та зберігає відношення рівності. Гомоморфне відображення ставить у відповідність кожному елементу з емпіричної системи певний елемент знакової системи. Слід звернути увагу до дві особливості номінальних шкал.

По-перше, елементам cudпоставлене у відповідність одне й те значення шкали виміру (див. рис.3.5). Це означає, що з вимірі ці елементи не різняться.

По-друге, при вимірі в шкалі найменувань символи 1,2,3,...,n , використовувані як шкальних значень, не числами, а цифрами, службовцями лише позначення і розходження об'єктів. Так, цифра 2 не є вдвічі або на одиницю більша за цифру 1 на відміну від чисел 2 і 1.

Будь-яка обробка результатів виміру в номінальній шкалі повинна враховувати дані особливості. В іншому випадку можуть бути зроблені помилкові висновки щодо оцінки систем, що не відповідають дійсності.

Шкала порядку

Шкала називається ранговий (шкала порядку), якщо множина допустимих перетворень складається з усіх монотонно зростаючих допустимих перетворень шкальних значень. Отже, шкала єдина з точністю до монотонного перетворення.

Монотонно зростаючим називається таке перетворення, яке задовольняє умові: якщо, то і для будь-яких шкальних значень з області визначення. Порядковий тип шкал допускає як відмінність об'єктів, як номінальний тип, а й використовується для упорядкування об'єктів по вимірюваним властивостям. Числа в шкалі визначають порядок прямування об'єктів і не дають можливості сказати, на скільки або скільки разів один об'єкт краще іншого. У цій шкалі також відсутні поняття масштабу та початку відліку.

Вимірювання в шкалі порядку може застосовуватися, наприклад, у таких ситуаціях:

· необхідно впорядкувати об'єкти у часі чи просторі.Це ситуація, коли цікавляться не порівнянням ступеня вираженості будь-якої їхньої якості, а лише взаємним просторовим або тимчасовим розташуванням цих об'єктів;

· потрібно впорядкувати об'єкти відповідно до будь-якої якості, але при цьому не потрібно проводити його точний вимір;

· якась якість у принципі вимірна, але зараз не може бути виміряна з причин практичного або теоретичного характеру.

Прикладом шкали порядку може бутишкала твердості мінералів, запропонована 1811 р. німецьким вченим Ф. Моосом і досі поширена у польовій геологічній роботі. Іншими прикладами шкал порядку можуть бути шкали сили вітру, сили землетрусу, сортності товарів у торгівлі, різні соціологічні шкали тощо.

Будь-яка шкала, отримана зі шкали порядку за допомогою довільного монотонно зростаючого перетворення шкальних значень, буде точною шкалою порядку для вихідної емпіричної системи з відносинами.

Дещо «сильнішими», ніж порядкові шкали, є шкали гіперпорядку. Допустимими цих шкал є гипермонотонные перетворення, тобто. перетворення , такі, що для будь-яких :

тільки коли належать області визначення та .

Таким чином, при вимірі в шкалах гіперпорядку зберігається впорядкування різниць чисельних оцінок.

Шкала інтервалів

Шкала інтервалів застосовується для відображення величини різницю між властивостями об'єктів.Прикладом цієї шкали є вимірювання температури в градусах Фаренгейта або Цельсія. При експертному оцінюванні шкала інтервалів застосовується з метою оцінки корисності об'єктів. Основною властивістю шкали інтервалів є рівність інтервалів. Інтервальна шкала може мати довільні точки відліку та масштаб.Отже, шкала інтервалів єдина з точністю до лінійного перетворення. У цій шкалі відношення різниці чисел у двох числових системах визначається масштабом виміру.

Одним з найважливіших типів шкал є тип інтервалів. Тип шкал інтервалів містить шкали, єдині з точністю до множини позитивних лінійних допустимих перетворень виду

,

де a>0; b – будь-яке значення. Основною властивістю цих шкал є збереження незмінних відносин інтервалів в еквівалентних шкалах:

Звідси і походить назва цього типу шкал. Прикладом шкал інтервалів можуть бути шкали температур. У цьому випадку функція допустимого перетворення градусів за шкалою Цельсія в градуси за шкалою Фаренгейта має вигляд

,

і навпаки, функція допустимого перетворення градусів за шкалою Фаренгейта на градуси за шкалою Цельсія має вигляд

.

Іншим прикладом виміру в інтервальній шкалі може бути ознака «дата здійснення події», оскільки для вимірювання часу в конкретній шкалі необхідно фіксувати масштаб і початок відліку. Григоріанський та мусульманський календарі дві конкретизації шкал інтервалів.

Таким чином, при переході до еквівалентних шкал за допомогою лінійних перетворень у шкалах інтервалів відбувається зміна як початку відліку (параметр b ), так і масштабу вимірів (параметр a ).

Шкали інтервалів так само, як номінальна та порядкова, зберігають відмінність та впорядкування вимірюваних об'єктів. Однак, крім цього, вони зберігають і відношення відстаней між парами об'єктів. Запис

означає, що відстань між і в Доразів більше відстані між х 3 і х 4 і будь-якої еквівалентної шкалі це значення (відношення різниць чисельних оцінок) збережеться. При цьому відносини самих оцінок не зберігаються.

У соціологічних дослідженняху шкалах інтервалів зазвичай вимірюють тимчасові та просторові характеристикиоб'єктів. Наприклад, дати подій, стаж, вік, час виконання завдань, різницю у відмітках на графічній шкалі тощо. Проте пряме ототожнення заміряних змінних з властивістю, що вивчається, не так просто.

Як інший приклад розглянемо випробування розумових здібностей, у якому вимірюється час, необхідне вирішення якогось завдання. Хоча фізичний час вимірюється в шкалі інтервалів, час, що використовується як міра розумових здібностей, належить шкалі порядку. Для того, щоб побудувати більш досконалу шкалу, необхідно досліджувати більш багату структуру цієї властивості.

Типова помилка: властивості, що вимірюються в шкалі інтервалів, приймаються як показники для інших властивостей, монотонно пов'язаних з даними. Вихідні шкали інтервалів, що застосовуються для вимірювання пов'язаних властивостей, стають лише шкалами порядку. Ігнорування цього факту часто призводить до неправильних результатів.

Найбільш широко під час проведення соціологічних вимірів застосовуються такі два типи інтервальної шкали.

На основі шкали Лайкертавивчається ступінь згоди чи незгоди респондентів із певними висловлюваннями. Ця шкала має симетричний характер і вимірює інтенсивність почуттів респондентів. Наприклад, містить такі градації: цілком згоден (1); певною мірою згоден (2); ставлюся нейтрально (3); якоюсь мірою не згоден (4); зовсім не згоден (5). У дужках вказані бали, які приписуються відповідям питання анкети, які у певних градаціях.

За допомогою шкали Лайкерта може бути вивчена думка (ставлення) співробітників якоїсь організації до різних управлінських аспектів: система мотивації праці, психологічний клімат у колективі, політика нововведень та ін.

Існують різні варіанти модифікації шкали Лайкерта, наприклад, вводиться різна кількість градацій (5-9).

Семантична диференціальна шкала(Семантичний диференції) містить серію двополярних визначень, що характеризують різні властивості об'єкта, що вивчається. Ця шкала була розроблена американським ученим Ч.Осгудом для вимірювання сенсу понять і слів, і насамперед для диференціації емоційної сторони об'єкта вимірювання щодо соціальних установок. Таким шляхом визначалася реакція людини щодо об'єкта, що вивчається.

Наприклад, при оцінці морального клімату в колективі при розробці анкети спочатку вибираються показники, що характеризують його (відносини між співробітниками, відносини між керівниками, відносини між керівниками та підлеглими та ін.). Потім для кожного показника (питання анкети) складається шкала, що є континуумом утвореним парою антонімічних прикметників. Континуум містить сім градацій інтенсивності відносин. Наприклад, у питанні, що характеризує відносини між співробітниками, шкала має такі градації:

Дуже добрі (+3);

Хороші (+2);

Скоріше добрі (+1);

Ні хороші, ні погані (0)

Скоріше погані (-1);

Погані (-2);

Дуже погані (-3).

Кожен респондент висловлює своє ставлення до проблеми, що вивчається, по всьому набору шкал. Цей тип шкали також часто використовується щодо іміджу торгової марки, магазину тощо.

Шкала відносин

Шкалою відносин (подібності)називається шкала, якщо безліч допустимих перетворень складається з перетворень подоби

деа>0 -дійсні числа. Неважко переконатися, що у шкалах відносин залишаються незмінними відносини чисельних оцінок об'єктів. Справді, нехай в одній шкалі об'єктам і відповідають шкальні значення та , а в іншій і . Тоді маємо:

Це співвідношення пояснює назву шкал відносин. Прикладами вимірів у шкалах відносин є виміри маси та довжини об'єктів. Відомо, що з встановленні маси використовується велика різноманітність чисельних оцінок. Так, роблячи вимір у кілограмах, отримуємо одне чисельне значення, при вимірі в фунтах - інше і т.д. Однак можна помітити, що в якій би системі одиниць не проводилося вимірювання маси, відношення мас будь-яких об'єктів однаково і при переході від однієї числової системи до іншої, еквівалентної, не змінюється. Цю ж властивість має і вимір відстаней і довжин предметів.

Як видно з розглянутих прикладів, шкали відносин відбивають відносини властивостей об'єктів, тобто. у скільки разів властивість одного об'єкта перевищує це властивість іншого об'єкта.

Шкали відносин утворюють підмножину шкал інтервалів фіксуванням нульового значення параметра b: b = 0.Така фіксація означає завдання нульової точки початку відліку шкальних значень всім шкал відносин. Перехід від однієї шкали стосунків до іншої, еквівалентної їй шкалою здійснюється з допомогою перетворень подоби (розтягування), тобто. зміною масштабу вимірів. Шкали відносин, будучи окремим випадком шкал інтервалів, під час виборів нульової точки відліку зберігають як відносини властивостей об'єктів, а й відносини відстаней між парами об'єктів.

Шкала різниць

Шкали різницьвизначаються як шкали, єдині з точністю до перетворень зсуву

b –дійсні числа. Це означає, що з переході від однієї числової системи до іншої змінюється лише початок відліку. Шкали різниць застосовують у тих випадках, коли необхідно виміряти, наскільки один об'єкт перевершує за певною властивістю інший об'єкт. У шкалах різниць постійними залишаються різниці чисельних оцінок якостей.Дійсно, якщо і - оцінки об'єктів і в одній шкалі, а і - в іншій шкалі, то маємо:

Прикладами вимірювань у шкалах різниць можуть бути вимірювання приросту продукції підприємств (в абсолютних одиницях) у поточному році порівняно з минулим, збільшення чисельності установ, кількість придбаної техніки за рік тощо.

Іншим прикладом виміру в шкалі різниць є літочислення (у роках). Перехід від одного літочислення до іншого здійснюється зміною початку відліку.

Як і шкали відносин, шкали різниць є окремим випадком шкал інтервалів, одержуваних фіксуванням параметра а (а= 1), тобто. вибором одиниці масштабу вимірів. Точка відліку в шкалах різниць може бути довільною Шкали різниць, як і шкали інтервалів, зберігають відносини інтервалів між оцінками пар об'єктів, але, на відміну від шкали відносин, не зберігають відносини оцінок властивостей об'єктів.

Абсолютна шкала

Абсолютна шкала -в якихєдиними допустимими перетвореннями є тотожні перетворення: . Це означає, що існує лише одне відображення емпіричних об'єктів у числову систему.Звідси і назва шкали, тому що для неї єдиність виміру розуміється в буквальному абсолютному значенні.

Абсолютні шкали застосовуються, наприклад, вимірювання кількості об'єктів, предметів, подій, рішень тощо.Як шкальні значення при вимірюванні кількості об'єктів використовуються натуральні числаколи об'єкти представлені цілими одиницями, і дійсні числа, якщо крім цілих одиниць присутні і частини об'єктів.

Абсолютні шкали є окремим випадком всіх раніше розглянутих типів шкал, тому зберігають будь-які співвідношення між числами оцінками властивостей об'єктів, що вимірюються: відмінність, порядок, відношення інтервалів, відношення і різниця значень і т.д.

Крім зазначених існують проміжні типи шкал,такі, наприклад, як статечна шкала() та її різновид логарифмічна шкала ().

На рис.3.6 зображено співвідношення між основними типами шкал як ієрархічної структури основних шкал.

Рис.3.6. Ієрархічна структура основних шкал

Тут стрілки вказують включення сукупностей допустимих перетворень більш «сильних» менш «сильні» типи шкал. При цьому шкала тим «сильніша», чим менше свободи у виборі . Деякі шкали є ізоморфні, тобто. рівносильними. Наприклад, рівносильні шкала інтервалів та статечна шкала. Логарифмічна шкала дорівнює шкалі різниць і шкалі відносин.

Шкали найменувань та порядкує якіснимишкалами. У шкалі найменувань описується відмінність чи еквівалентність об'єктів, а шкалою порядку – якісну перевагу, відмінність об'єктів. У цих шкалах немає поняття початку відліку та масштабу виміру.

Шкали інтервалів, відносин, різниць та абсолютна шкалає кількіснимишкалами. У цих шкалах існують поняття початку відліку та масштабу, які вибираються довільно. Кількісні шкали дозволяють виміряти, на скільки (шкали інтервалів та різниць) або у скільки (шкали відносин та абсолютна) раз один об'єкт відрізняється від іншого за вибраним показником.

Вибір тієї чи іншої шкали для виміру визначається характером відносин між об'єктами емпіричної системи, наявністю інформації про ці відносини та цілями прийняття рішення. Застосування кількісних шкал вимагає значно повнішої інформації про об'єкти порівняно із застосуванням якісних шкал.

Слід звернути увагу на правильне узгодження шкали вимірювання, що вибирається, з цілями рішення.Наприклад, якщо метою рішення є впорядкування об'єктів, немає необхідності вимірювати кількісні характеристики об'єктів, достатньо визначити тільки якісні характеристики. Типовим прикладом такого рішення є підведення визначення найкращих підприємств. Для вирішення цього завдання, як правило, не потрібно визначати, на скільки або у скільки разів один об'єкт кращий за інший, тобто. немає потреби при такому вимірі користуватися кількісними шкалами.

Вимірювальні шкали

Термін "шкала" походить від латинського слова "Scala", що в перекладі означає сходи.

Шкалою вимірів називають прийнятий за згодою порядок визначення та позначення всіляких проявів конкретної властивості (наприклад, значень розміру). Розрізняють п'ять основних типів шкал вимірювань: найменувань, порядку, інтервалів (різностей), відносин і абсолютні шкали.

Шкала найменувань .

Це найпростіші шкали, що відбивають якісні властивості. Їх елементи характеризуються лише співвідношеннями еквівалентності (рівності) та подібності конкретних якісних проявів якості.

Ці шкали немає нуля і одиниці вимірів, у яких відсутні відносини зіставлення типу «більше-меньше». На шкалі найменувань не можна робити арифметичні дії.

Вимірювання зводиться до порівняння вимірюваного об'єкта з еталонними та вибору одного з них (або двох сусідніх), що збігається з вимірюваним. Вимірювання у шкалах найменувань виконуються досить часто. Результати якісного аналізу (визначення групи крові) – це виміри у шкалі найменувань.

Шкала порядку .

Шкала порядку. Порівняння одного розміру з іншим за принципом "що більше" або "що краще" проводиться за шкалою порядку. Ці шкали немає одиниць вимірів. Докладніша інформація наскільки більше мулів у скільки разів краще іноді не потрібна. Побудувавши людей зростанням, користуючись шкалою порядку, можна дійти невтішного висновку у тому, хто вище, проте сказати наскільки вище чи скільки не можна.

Розміщення розмірів у міру зростання або зменшення для отримання вимірювальної інформації за шкалою порядку називається ранжируванням. За шкалою порядку порівнюються між собою розміри, які залишаються невідомими. Результатом порівняння є ранжований ряд.

Вимірювання за шкалою порядку є найнедосконалішими, найменш інформативними. Вони не дають відповіді на питання про те, на скільки або у скільки разів один розмір більший за інший. На шкалі порядку можуть виконувати лише деякі логічні операції. Наприклад, якщо перший розмір більше другого, а другий більше третього, то і перший більше третього. Якщо два розміри менше третього, їх різниця менше третього.

Ці властивості шкали називаються властивостями транзитивності. У той же час на шкалі порядку не можуть виконуватись жодні арифметичні дії.

Вимірювання за шкалою порядку широко використовуються під час контролю. Тут розмір Q 1 порівнюється з контрольним Q 2 . Результатом вимірювання служить рішення про те, придатний чи негідний виріб за контрольованим розміром.

Класичним прикладом є оцінювання твердості мінералів з урахуванням шкали Мооса. Шкала Моосу щодо твердості мінералів складається з 10 еталонів твердості: тальк -1; гіпс – 2; кальцит – 3; флюорит – 4; апатит – 5; ортооклаз - 6; кварц – 7; топаз – 8; корунд – 9; алмаз - 10. Відносна твердість визначається шляхом дряпання еталоном поверхні об'єкта, що випробовується. Як правило, шкала порядку використовується в тому випадку, коли не існує методу, що дозволяє здійснити оцінку у встановлених одиницях вимірювання.

Реперні шкали.

Для полегшення вимірів на шкалі порядку можна

зафіксувати деякі опорні точки як «реперні». Така шкала називається реперною.

Точкам реперних шкал можуть бути проставлені цифри, які називають балами.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

За реперними шкалами вимірюються:

інтенсивність землетрусів за 12-ти бальною міжнародною шкалою MSK – 64 (табл.1);

сила вітру за шкалою Бофорта (табл. 2);

сила морського хвилювання;

чутливість фотоплівки;

ступінь зрошення льоду;

твердість мінералів тощо.

Наприклад, для оцінки швидкості (сили) вітру в балах за його дією на наземні предмети або за хвилюванням на морі була складена умовна шкала Ф Бофортом в 1805 р. Співвідношення між балами і швидкістю вітру на висоті 10 м була прийнята в 1946 по міжнародному угоді.

Недоліком реперних шкал є невизначеність інтервалів між реперними точками. Тому бали не можна складати, віднімати, множити чи ділити. Вимірювальна інформація, отримана за шкалою порядку, непридатна для математичної обробки. Неможливе й внесення до результату виміру поправки, бо якщо самі розміри, що порівнюються, невідомі, то внесення поправки не вносить ясності.

Таблиця 1

	Назва	Коротка характеристика
	Непомітне	Відзначається лише сейсмічними приладами
	Дуже слабке	Відчувається окремими людьми, які перебувають у стані спокою
		Відчувається невеликою частиною населення.
	Помірне-не	Розпізнається за дрібним деренчанням і коливанням предметів і шибок, скрипу дверей і стін.
	Досить сильне	Загальний струс будівель, коливання меблів, тріщини шибок і штукатурки, пробудження сплячих.
		Відчувається усіма. Картини падають зі стін, відколюються шматки штукатурки, легке пошкодження будівель.
	Дуже сильне	Тріщини у стінах кам'яних будинків. Антисейсмічні, а також дерев'яні будівлі залишаються неушкодженими
	Руйнівне.	Тріщини у крутих схилах та на сирому ґрунті. Пам'ятники зрушуються з місця чи падають. Вдома сильно ушкоджуються.
	Спустошення	Сильне пошкодження та руйнування кам'яних будинків.
	Ніщо-жаюче	Великі тріщини у ґрунті. Зсуви та обвали. Руйнування кам'яних будівель, викривлення залізничних рейок.
	Катаст-рофа	Широкі тріщини у землі. Численні зсуви та обвали. Кам'яні будинки зовсім руйнуються.
	Сильна катастрофа	Зміна у грунті досягає величезних розмірів. Численні обвали, зсуви, тріщини. Виникнення водоспадів, підпруд на озерах. Відхилення течії річок. Жодна споруда не витримує.

Таблиця 2

	Назва вітру	Дія
		Дим йде вертикально
		Дим йде трохи похило
		Відчувається обличчям, шелестять листя.
		Розмахують прапори
	Помірний	Піднімається пил
		Викликає хвилі на воді
		Свистить у вантах, гудуть дроти
		На хвилях утворюється піна
	Дуже міцний	Важко йти проти вітру
		Зриває черепицю
	Сильний шторм	Вириває дерева з коренем
	Жорстокий шторм	Великі руйнування.
		Спустошлива дія

Шкала інтервалів .

Більш досконалими у цьому відношенні є шкали інтервалів, складені з певних інтервалів. На шкалі інтервалів відкладається різниця між розмірами. Загальноприйнятою є вимір часу за шкалою, розбитою на інтервали, рівні періоду звернення Землі навколо Сонця (літознищення). Ці інтервали (роки) діляться своєю чергою більш дрібні (добу), рівні періоду звернення Землі навколо осі. Доба у свою чергу поділяється на годинник, годинник на хвилину, хвилину на секунду. Така шкала називається шкалою інтервалів

На шкалі інтервалів визначено такі математичні дії, як додавання та віднімання . Інтервали з урахуванням знаків можна складати один з одним та віднімати один з одного. Завдяки цьому можна визначити, на скільки один розмір більший або менший за інший.

Через невизначеність початку відліку на шкалі інтервалів не можна визначати у скільки разів один розмір більший або менший за інший.

Іноді шкали інтервалів іноді одержують шляхом пропорційного поділу інтервалу між реперними точками. Так, на температурній шкалі Цельсія за початок відліку прийнято температуру танення льоду. З нею порівнюються й інші температури. Для зручності користування шкалою інтервалів шкала між температурою танення льоду та температурою кипіння води розбито на 100 рівних інтервалів – градації чи градусів. Вся шкала Цельсія розбита на градуси як у бік позитивних, і у бік негативних інтервалів.

На температурній шкалі Реомюра за початок відліку прийнято ту ж температуру танення льоду, але інтервал між цією температурою і температурою кипіння води розбитий на 80 рівних частин. Тим самим використовується інша градація температури: температура Реомюра більша, ніж температура Цельсія.

На температурній шкалі Фаренгейта той самий інтервал розбитий на 180 частин. Отже, градус Фаренгейта менший за градус Цельсія. Крім того, початок відліку інтервалів на шкалі Фаренгейта зрушений на 320 у бік низьких температур.

Розподіл шкали на рвані частини – градації – встановлює у ньому масштаб і дозволяє висловити результат виміру числової мере.

Шкала стосунків.

Якщо в якості однієї з двох реперних точок вибрати таку, в якій розмір не приймається рівним нулю, а дорівнює нулю насправді, то за такою шкалою можна відраховувати абсолютне значення розміру і визначати в скільки разів один чи більше розмір менший за інший. Ця шкала називається шкалою стосунків. Прикладом може бути температурна шкала Кельвіна. У ній за початок відліку прийнято абсолютний нуль температури, при якому припиняється тепловий рух молекул. Другою реперною точкою є температура танення льоду. За шкалою Цельсія інтервал між цими реперними точками дорівнює 273,16 0 З. Тому шкалою Кельвіна інтервал між цими точками ділять на 273,16 частин. Кожна така частина називається Кельвіном і дорівнює градусу Цельсія, що полегшує перехід від однієї шкали до іншої.

Шкала відносин є найдосконалішою, найінформативнішою. На ній визначені всі математичні дії: додавання, віднімання, множення та розподіл. Звідси випливає, що значення будь-яких розмірів на шкалі відносин можна складати між собою, віднімати, перемножувати та ділити. Отже, можна визначити, наскільки або у скільки разів один розмір більший або менший за інший.

Залежно від того, на які інтервали розбита шкала, той самий розмір проставляється по-різному. Наприклад, 0,001 км; 1 м; 100 см; 1000 м – чотири варіанти подання одного й того самого розміру. Їх називають значеннями вимірюваної величини.

Таким чином, значення вимірюваної величини –це вираз її розміру у певних одиницях виміру. Обтяжене число, що входить до неї, називається числовим значенням.

Значення вимірюваної величини Q визначається її числовим значенням g м деяким розміром
, прийнятим за одиницю виміру:

. (53)

де Q - Вимірювана величина;

- одиниця виміру;

g – числове значення.

Абсолютні шкали . Вони мають всі властивості шкал відносин. Одиниці абсолютних шкал природні, а чи не обрані за згодою, але ці одиниці безрозмірні (рази, відсотки, частки, повні кути тощо. буд.). Одиниці величин, що описуються абсолютними, не є похідними одиницями СІ, оскільки за визначенням похідні одиниці не можуть бути безрозмірними. Це позасистемні одиниці. Стерадіан та радіан – це типові одиниці абсолютних шкал. Абсолютні шкали бувають обмеженими та необмеженими.

Обмежені шкали - це, зазвичай, шкали з діапазоном від нуля до одиниці (ККД, коефіцієнт поглинання або відбиття тощо). Прикладами необмежених шкал є шкали, у яких вимірюються коефіцієнти посилення, ослаблення тощо.

Ці шкали важливо нелінійні. Тому вони не мають одиниць вимірів.