На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функціїу = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік
При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.
Визначимо закон відповідності для .
Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).
Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.
З визначення синуса випливають очевидні властивості.
На малюнку видно, що 
т.к. це ордината точки одиничного кола.
Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.
Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)
Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).
Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.
Розглянемо властивості функції:
1) Область визначення:
2) Область значень: 
3) Функція непарна:
4) Найменший позитивний період:
5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис: 
6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:
7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:
8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:
9) Проміжки зростання:
10) Проміжки зменшення:
11) Точки мінімуму: 
12) Мінімум функції:
13) Точки максимуму: 
14) Максимум функції:
Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.
Список литературы
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу ( навчальний посібникдля учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивченняалгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.
А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній порталдля підготовки до іспитів ().
Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"
Що вивчатимемо:
- Властивості функції Y = sin (X).
- Графік функції.
- Як будувати графік та його масштаб.
- приклади.
Властивості синусу. Y=sin(X)
Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?
Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)
Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Давайте згадаємо визначення непарної функції. Функція називається непарною якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.
4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y=sin(X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.
Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок рівний двом клітинам, але в осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).
_2.png)
Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)
Порахуємо значення функції на нашому відрізку:
_3.png)
Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.
_4.png)
Таблиця перетворень для формул привиду
Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:
_5.png)
Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.
_6.png)
Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.
Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.
Приклади завдань із синусом
1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π
Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π
_7.png)
2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1
Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.
_8.png)
Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.
_9.png)
Завдання на синус для самостійного вирішення
- Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
- Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
- Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
- Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]
На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік
При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.
Визначимо закон відповідності для .
Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).
Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.
З визначення синуса випливають очевидні властивості.
На малюнку видно, що т.к. це ордината точки одиничного кола.
Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.
Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)
Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).
Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.
Розглянемо властивості функції:
1) Область визначення:
2) Область значень:
3) Функція непарна:
4) Найменший позитивний період:
5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис:
6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:
7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:
8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:
9) Проміжки зростання:
10) Проміжки зменшення:
11) Точки мінімуму:
12) Мінімум функції:
13) Точки максимуму:
14) Максимум функції:
Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.
Список литературы
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.
А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().
На цьому уроці ми докладно розглянемо функцію у = sin х, її основні властивості та графік. На початку уроку дамо визначення тригонометричної функції у = sin t на координатному колі та розглянемо графік функції на колі та прямий. Покажемо періодичність цієї функції на графіку та розглянемо основні властивості функції. Наприкінці уроку вирішимо кілька найпростіших завдань із використанням графіка функції та її властивостей.
Тема: Тригонометричні функції
Урок: Функція y=sinx, її основні властивості та графік
При розгляді функції важливо кожному значенню аргументу поставити у відповідність єдине значення функції. Цей закон відповідностіі називається функцією.
Визначимо закон відповідності для .
Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка на одиничному колі У точки є єдина ордината, яка називається синусом числа (рис. 1).
Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність єдине значення функції.
З визначення синуса випливають очевидні властивості.
На малюнку видно, що т.к. це ордината точки одиничного кола.
Розглянемо графік функції. Згадаймо геометричну інтерпретацію аргументу. Аргумент – це центральний кут, що вимірюється в радіанах. По осі ми відкладатимемо дійсні числа або кути в радіанах, по осі відповідні значення функції.
Наприклад, кут на одиничному колі відповідає точці на графіку (рис. 2)
Ми отримали графік функції дільниці Але знаючи період синуса ми можемо зобразити графік функції по всій області визначення (рис. 3).
Основним періодом функції є це означає, що графік можна отримати на відрізку, а потім продовжити на всю область визначення.
Розглянемо властивості функції:
1) Область визначення:
2) Область значень:
3) Функція непарна:
4) Найменший позитивний період:
5) Координати точок перетину графіка з віссю абсцис:
6) Координати точки перетину графіка з віссю ординат:
7) Проміжки, на яких функція набуває позитивних значень:
8) Проміжки, на яких функція набуває негативних значень:
9) Проміжки зростання:
10) Проміжки зменшення:
11) Точки мінімуму:
12) Мінімум функції:
13) Точки максимуму:
14) Максимум функції:
Ми розглянули властивості функції та її графік. Властивості неодноразово використовуватимуться під час вирішення завдань.
Список литературы
1. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2009.
2. Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред. А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
3. Віленкін Н.Я., Івашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.І. Алгебра та математичний аналіз для 10 класу (навчальний посібник для учнів шкіл та класів з поглибленим вивченням математики).-М.: Просвітництво, 1996.
4. Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І. Поглиблене вивчення алгебри та математичного аналізу.-М.: Просвітництво, 1997.
5. Збірник завдань з математики для вступників до ВТУЗи (під ред. М.І.Сканаві).-М.: Вища школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Завдання з алгебри та початку аналізу (посібник учнів 10-11 класів общеобразов. установ).-М.: Просвітництво, 2003.
8. Карп А.П. Збірник завдань з алгебри та початків аналізу: навч. посібник для 10-11 кл. з поглибл. вивч. математики.-М.: Просвітництво, 2006.
Домашнє завдання
Алгебра та початку аналізу, 10 клас (у двох частинах). Задачник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) за ред.
А. Г. Мордковіча. -М: Менімозіна, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Додаткові веб-ресурси
3. Освітній портал для підготовки до іспитів ().