ТЕМА УРОКУ: Рішення найпростіших тригонометричних нерівностей
Мета уроку:показати алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей з використанням одиничного кола.
Завдання уроку:
Освітні – забезпечити повторення та систематизацію матеріалу теми; створити умови контролю засвоєння знань та умінь;
Розвиваючі – сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми: порівняння, узагальнення, виявлення головного, перенесення знань у нову ситуацію, розвитку математичного кругозору, мислення та мовлення, уваги та пам'яті;
Виховні – сприяти вихованню інтересу до математики та її додатків, активності, мобільності, уміння спілкуватися, загальної культури.
Знання та навички учнів:
- знати алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей;
Вміти вирішувати найпростіші тригонометричні нерівності.
Обладнання:інтерактивна дошка, презентація до уроку, картки із завданнями самостійної роботи.
ХІД УРОКУ:
1. Організаційний момент
(1 хв)
Девізом уроку пропоную слова Сухомлинського: «Сьогодні – ми навчаємось разом: я, ваш учитель і ви мої учні. Але в майбутньому учень має перевершити вчителя, інакше у науці не буде прогресу».
2. Розминка.Диктант «Вірно – невірно»
3. Повторення
Для кожного варіанта – завдання на слайді, продовжте кожен запис. Час виконання 3 хв.
Давайте здійснимо взаємоперевірку цієї нашої роботи, використовуючи таблицю відповідей на дошці.
Критерій оцінки:"5" - всі 9 "+", "4" - 8 "+", "3" - 6-7 "+"
4. Актуалізація знань учнів(8 хв)
Сьогодні на уроці ми повинні засвоїти поняття тригонометричної нерівності та опанувати навички вирішення таких нерівностей.
– Давайте спочатку пригадаємо, що таке одиничне коло, радіана міра кута і як пов'язаний кут повороту точки на одиничному колі з радіанною мірою кута. (Робота з презентацією)
Одиничне коло- це коло з радіусом 1 та центром на початку координат.
Кут, який утворений позитивним напрямом осі OX та променем OA, називається кутом повороту. Важливо запам'ятати, де є кути 0; 90; 180; 270; 360.
Якщо A переміщається проти годинникової стрілки, виходять позитивні кути.
Якщо A рухається за годинниковою стрілкою, виходять негативні кути.
сos t – це абсцис точки одиничного кола, sin t – ордината точки одиничного кола, t – кут повороту з координатами (1; 0).
5 . Пояснення нового матеріалу (17 хв)
Сьогодні ми познайомимося з найпростішими тригонометричними нерівностями.
Визначення.
Найпростішими тригонометричними нерівностями називають нерівності виду:
Як вирішити такі нерівності нам розкажуть хлопці (подання проектів учнями з прикладами). Визначення та приклади учні записують у зошиті.
Під час виступу учні пояснюють рішення нерівності, вчитель доповнює малюнки на дошці.
Алгоритм вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей дається після виступу учнів. Усі етапи розв'язання нерівності учні бачать на екрані. Це сприяє зоровому запам'ятовування алгоритму розв'язання цієї задачі.
Алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола:
1. На осі, що відповідає заданій тригонометричній функції, відзначити це числове значенняцієї функції.
2. Провести через зазначену точку пряму, що перетинає одиничне коло.
3. Виділити точки перетину прямої та кола з урахуванням суворого чи не суворого знака нерівності.
4. Виділити дугу кола, де розташовані рішення нерівності.
5. Визначити значення кутів у початковій та кінцевій точках дуги кола.
6. Записати розв'язання нерівності з урахуванням періодичності заданої тригонометричної функції.
Для вирішення нерівностей з тангенсом та котангенсом корисно поняття про лінію тангенсів та котангенсів. Такими є прямі x = 1 і y = 1 відповідно, що стосуються тригонометричного кола.
6. Практична частина(12 хв)
Для відпрацювання та закріплення теоретичних знань виконаємо невеликі завдання. Кожен учень отримує картки із завданнями. Вирішивши нерівності, потрібно вибрати відповідь та записати її номер.
7. Рефлексія діяльності на уроці
- Яка ціль стояла перед нами?
- Назвіть тему уроку
- Вийшло скористатися відомим алгоритмом
– Проаналізуйте свою роботу на уроці.
8. Домашнє завдання(2 хв)
Розв'яжіть нерівність:
9. Підсумок уроку(2 хв)
Пропоную закінчити урок словами Я.А.Коменського: "Вважай нещасним той день або ту годину, коли ти не засвоїв нічого нового і нічого не додав до своєї освіти ".
УРОКИ №27-28
Способи розв'язання тригонометричних нерівностей
Цілі та завдання уроку:
Освітня:
Вивчити способи розв'язання тригонометричних нерівностей.
Організувати роботу учнів лише на рівні, відповідному рівню сформованих знань і умінь.
Розвиваюча:
Розвивати в учнів вміння коштувати математичні моделі, у разі графічну модель розв'язання нерівності.
Виховна:
Сприяти розвитку пізнавального інтересу учнів до предмета, впливаючи на інтерес старшокласників до самопізнання.
Тип уроку: комбінований урок.
Методи уроку: словесний, практичний, контроль та узагальнення знань.
Форми організації діяльності учнів під час уроку: фронтальна, робота у групах, що контролює самостійна робота.
Метод набуття знань : евристичний, дослідницький.
Презентація до уроку
Хід уроку
1. Самовизначення до діяльності (3 хв)
Психологічний настрій учнів. Оголошення теми уроку, коментар цілей уроку.
2. Перевірка домашнього завдання (5 хв)
Коментар з домашнього завдання, при необхідності біля дошки показують рішення учні, що впоралися.
3. Актуалізація теоретичних знань учнів ( 12 хв)
Фронтальне опитуванняучнів:
Область значень тригонометричних функцій
Область визначення тригонометричних функцій
Значення тригонометричних функцій кутів 0 0, 30 0, 45 0,60 0, 90 0, 120 0, 135 0, 150 0, 180 0.
Перелічити види найпростіших тригонометричних рівнянь.
Способи розв'язання тригонометричних рівнянь.
Способи розв'язання систем тригонометричних рівнянь.
Робота з тригонометричним колом. За значеннями тригонометричних функцій визначити кут, знайти значення зворотних функцій тригонометричних.
4. Пояснення нового матеріалу ( 20 хв).
Види найпростіших тригонометричних нерівностей та їх інтерпретація на тригонометричному колі:
1) cost > а
Відповідь: (- arccos а +2π k; arccos а+ 2π k), k ЄZ
2) sint< а
Відповідь: (-( π +arcsin а )+2π k; arcsin а +2π k), k ЄZ
3) tgt > - а
Відповідь: (- arctg а +π k; π/2 +π k ), k ЄZ
4) ctgt > а
Відповідь: (0+ π k; arcctg а+π k), k ЄZ.
Розглянемо приклади рішення (на слайдах):
Учні самостійно коментують запропоноване рішення
Алгоритм вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей
За допомогою найпростіших алгебраїчних перетворень і тригонометричних перетворень світла задана тригонометрична нерівність до найпростішого.
Позначити на осі, що відповідає тригонометричній функції, що знаходиться в лівій частині нерівності, значення з правої частини нерівності.
Провести пряму через цю точку перпендикулярно до цієї осі.
Позначити точки перетину прямої з тригонометричним колом(виколоти їх у разі строго нерівності та зафарбувати в іншому випадку).
Виділити відповідну дугу в межах у цих точках відповідно до знаку нерівності.
Вказуємо напрямок відліку (проти годинникової стрілки).
Знаходимо початок дуги та кут, йому відповідний.
Знаходимо кут, відповідний кінець дуги.
Записуємо відповідь у вигляді проміжку з урахуванням періодичності функції.
5. Практична частина. Закріплення вивченого матеріалу (30 хв)
№136(а,в), №137(а,в), №138(а,в),№140(а,в), №142(а,в), №144(а,в), №142, №145 (підручник Алгебра та початку аналізу 10, А.Е.Абилкасимова)
Учні вирішують біля дошки по двоє (або різні приклади, якщо рівень класу вище середнього, і той самий приклад в іншому випадку - з метою створення змагального ефекту).
6. Самостійна робота (12 хв)
Варіант-1 Варіант-2
1) sin
x
< 
/2 1)sin
x
< 1/2
2) cos
x
< -1/2 2) cos
x
≥ -
/2
3) tg 2 x -1 3) tg 3 x ≤ 1
4)
sin
(2
x
–
π
/6)
-
/2 4)
cos (3
x
–
π
/4) ≤ -
/2
5) 2cos (4x– π/6) > 1 5)2 sin (x/2 + π/4) ≥ -1
Самостійна робота перевіряє вміння учнів зводити нерівність до найпростішого та вирішувати найпростіші тригонометричні нерівності. Передбачені ситуації: сувора – несувора нерівність; виділена на колі дуга вище – нижче, правіше – ліворуч від заданого числа.
7. Завдання додому (2 хв)
§11 (стор.80) – вивчити спосіб розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою графіків тригонометричних функцій
Виконати будь-яким способом №136(б,г), №137(б,г), №138(б,г),№140(б,г), №142(б,г), №144(б,г) (Підручник Алгебра і початку аналізу 10, А.Е.Абилкасимова)
8. Підсумок уроку (3 хв)
Коротко охарактеризувати роботу класу під час уроку. Звернути увагу учнів способи розв'язання тригонометричних нерівностей, розглянутих під час уроку. Дати коментар до оцінок.
9. Рефлексія(3 хв)
Заповнити таблицю:
Доступність пояснення
Рівень розуміння теми
На яку оцінку ти сьогодні працював?
Хто, на твою думку, активно працював на уроці (вказати оцінки)
Який тип нерівності викликає утруднення?
Чи цікава тобі вивчена тема?
Чи влаштовує тебе темп уроку? Чи є необхідність його знизити чи підвищити?
Тема уроку :
Завдання уроку :
Тип уроку : комбінований.
Хід уроку
1.Організаційна частина
2.Перевірка знань:
3.Повторення.
4.Нова тема .
Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей sinx < 0, sin x > 0
sin x≤ 0, sin x ≥ 0
Учням пропонується скористатися карткою №1 (формат А-4) із наступним змістом.
Картка №1.
Алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей.
На осі ординат одиничного кола відзначаємо точку, що відповідає значеннюа(Приблизно).
Через отриману точку проводимо пряму паралельно до іншої осі системи координат до перетину з колом (Точки перетину можна з'єднати з центром кола).
На одиничному колі у точках перетину записуємо числа, що відповідають цим точкам.
Подумки переміщаємо нашу пряму паралельно осі координат залежно від значенняа.
Виділяємо штрихуванням ту частину дуги одиничного кола, яке переміщає пряма її перетинає. Якщо нерівність сувора, то точки на кінцях дуги не заштрихуються (виколоті точки).
Записуємо відповідь.
Розв'язання нерівності sinx>
Далі за алгоритмом вчитель на дошці, а учні на картці проводять послідовні операції на поодиноких кіл (рис. 1, а, б, в), розглядаючи рішення нерівності sinx >
Мал. 1
Записується відповідь: 
Вирішення нерівності соsx>
Рішення нерівності проводиться одним із учнів на дошці. Учні на картці за максимальної самостійності, використовуючи малюнок, записують розв'язання даної нерівності (Мал. 2, а ). При необхідності вчитель надає допомогу учню біля дошки та учням класу. Закріплюється алгоритм розв'язання нерівності.
Мал. 2
Відповідь: 
5. Закріплення.
Учням пропонується самостійно вирішити нерівність (Мал. 6, б )
Відповідь:
6. Домашнє завдання п.8.1, матеріал карток.
7. Контроль та оцінка роботи. Підсумки уроку.
Повторити алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей на якомусь прикладі підручника § 8 п.8.1 (А.Н.Шинибеков. Алгебра та початку математичного аналізу. Підручник для 10 класу загальноосвітньої школи. Алмати "Атамура" 2012).
Вчитель математики Лоренц Ольга Василівна _________________________
Тема уроку : Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.
Завдання уроку : а) організувати роботу з вивчення способів розв'язання тригонометричних нерівностей;
сприяти формуванню умінь та навичок вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей;
б)створити умови у розвиток пам'яті, уваги, техніки рахунки, інтуїції, промови, допитливості, самостійності логічного мислення;
в) сприяти вихованню тактовності, поваги до однокласників, сили волі, відповідального ставлення до навчання, самодисципліни завзятості.
Тип уроку : комбінований.
Хід уроку
1.Організаційна частина : розподіл учнів класу на групи, розподіл ролей у групах.
2.Перевірка знань:
Д/З усно: фронтальна перевірка, пояснення вирішення завдань, що спричинили труднощі.
3.Повторення.
Для якої функції існує зворотна функція? Наведіть приклад функції, для якої існує зворотна функція по всій області визначення, не існує зворотної функції по всій області визначення.
Яка існує залежність між областю визначення та областю значень прямої та зворотної функцій?
Як розташовуються у прямокутній системі координат графіки прямої та зворотної функцій?
Чи можна говорити про те, що тригонометричні функціїна всій області визначення мають зворотні функції? Обґрунтуйте свою відповідь.
4. Нова тема.
Учні – лідери гуртів готують удома презентації на тему: «Рішення найпростіших тригонометричних нерівностей». Під час пояснення ці учні пояснюють нову темуза допомогою своїх птезентацій.
5. Закріплення. Самостійна робота у групах.
Cos X<-
(+ 2 k; + 2 k), k
Sin X ≥
[+ 2 k, + 2 k], k
Sin X< -
(-; - + 2 k), k
Sin X< -
(-; - + 2 k), k
Sin X ≥
X + 2 n, + 2 k], n
Урок №19-20 Тема: Тригонометричні нерівності
Тип уроку: диференційований, проблемний.
Мета уроку: Вдосконалення навичок взаємодії на уроці у групах, вирішуючи проблемні завдання. Розвиток можливості самооцінки учнів. Організація спільної навчальної діяльності, що дає можливість формулювати та вирішувати проблемні завдання.
Завдання уроку:
Освітня: Повторити алгоритми розв'язання тригонометричних нерівностей; закріпити вміння розв'язання тригонометричних нерівностей; познайомити учнів із розв'язанням системи тригонометричних нерівностей; розробити алгоритм розв'язання системи тригонометричних нерівностей; закріпити вміння розв'язання системи тригонометричних нерівностей
Розвиваюча: Навчити висувати гіпотезу та вміло доказово відстоювати свою думку. Вміти розпізнавати та вирішувати проблемні завдання. Перевірити вміння узагальнювати та систематизувати свої знання.
Виховна: Підвищити інтерес до предмета та підготувати до вирішення складніших завдань.
Урок 1
1. Організаційне запровадження. Постановка навчальної задачі.
Клас поділяються на три групи, які поєднують учнів одного рівня знань.
І група "А"
II група "В"
III група "С"
Учні, що навчаються, умовно на “3”
Учні, що навчаються, умовно на “4”
Учні, що навчаються, умовно на “5”
Кожен учень отримує аркуш особистих досягнень.
Вчитель: Розгляньте уважно аркуш особистих досягнень. Впишіть прізвище, ім'я та назву групи. Тема нашого уроку “Розв'язання тригонометричних нерівностей, систем нерівностей”. Ми з вами сьогодні
Повторимо алгоритми розв'язання тригонометричних нерівностей;
Закріпимо вміння розв'язання тригонометричних нерівностей;
Познайомимося з розв'язанням системи тригонометричних нерівностей;
Розробимо алгоритм розв'язання системи тригонометричних нерівностей;
Закріпимо вміння розв'язання системи тригонометричних нерівностей;
Проведемо матч із комп'ютером.
1. Повторення
Повторення алгоритму розв'язання тригонометричних нерівностей проводиться за допомогою слайдів. Вчитель перед демонстрацією кожного слайда ставить завдання: "Проговоріть алгоритм розв'язання нерівності", при цьому викликає 4-х учнів по одному на кожен пункт алгоритму. Кожен учень промовляє зміст однієї з пунктів алгоритму і потім з'являється інформація на слайді. Можливо, учень робитиме свої коментарі, у тексті ця частина відповіді виділена курсивом.
Вчитель: .
Вчитель: Проговоріть алгоритм розв'язання нерівності
Вчитель: Проговоріть алгоритм розв'язання нерівності
Вчитель: Проговоріть алгоритм розв'язання нерівності
2. Робота у групах
Вчитель роздає кожному учневі у групі альбомні листи, на яких намальовані 3 числові тригонометричні кола. (Роздавальний матеріал диференційований)
Вчитель: Кожному учню треба вирішити 3 завдання. У групі "А" одне завдання проблемне (останнє). У групі “В” два завдання проблемні (два останні). У групі “С” усі завдання проблемні. Протягом 5 хвилин учні, допомагають одне одному розібратися із завданнями, потім протягом 10 хвилин учні вирішують завдання самостійно і з рішенням виходять до дошці і закріплюють свої листочки з рішенням на дошці.
Вчитель перевіряє у міру їхнього вивішування. За правильно вирішене завдання ставитися "+", за не правильно вирішене завдання ставитися "-". Після закінчення 10 хвилин рішення припиняється і починається протягом 5 хвилин розбір вирішених завдань. Розбираються лише проблемні завдання, але якщо є необхідність, можна розібрати й інші завдання.
Завдання для учнів по групам
І група "А"
Завдання №3 підвищеної складності рівня “А”
II група "В"
Завдання №2 та №3 підвищеної складності для рівня “В”
III група "С"
2.
3.
2.
3.
2.
3.
2.
3.
2.
2.
2.
3.
Усі завдання підвищеної складності для рівня
"С"
Вчитель: Учні змагаються всередині групи (встигли вивісити вірні завдання отримують додатково за швидкість 3 бали). А також змагаються команди між собою (учні команди отримують по 3 бали додатково, якщо в цій команді було більше вірно вирішених завдань)
Додаткові бали за швидкість виставляє вчитель в останню графу.
2 урок
Індивідуальний залік із проблемної теми
Вчитель: Згадаймо, як вирішується система нерівностей виду:
Відповідь: 
Вчитель викликає до дошки учня із групи “З” на вирішення системи нерівностей, учні із групи “В” озвучують рішення з місця.
Вчитель: Перед кожною групою ставиться проблема у вигляді розв'язання трьох систем тригонометричних нерівностей (кожна група отримує однакові системи, тобто учні в рівних умовах).
№1.
Відповідь: .
: велика дуга.
І.
.
Виділити дугу кола, що відповідає інтервалу: велика дуга.
Записати числові значення граничних точок дуги:та .
Записати загальне рішення нерівності:
.
3. Учень групи "С" (3 бали) (з місця допомагає учень з тієї ж групи):
- Виділити перетин дуг і визначити числові значення граничних точок дуг, що вийшли:та ; та .
Записати загальне рішення системи нерівностей:
№2 Складіть алгоритм і розв'яжіть систему тригонометричних нерівностей виду:
Відповідь: 
.
На обговорення проблеми у групах дається 2 хвилини, а потім вчитель сам викликає до дошки учнів, які на заготовлених колах, за прихованої підказки вчителя, вирішують систему нерівностей. Вчитель викликає учнів із різних груп, пропонуючи виконати завдання різної складності. Один учень працює біля дошки, а інший допомагає з місця.
Учень групи "А" (3 бали) (з місця допомагає учень з тієї ж групи):
Виділити дугу кола, що відповідає інтервалу: велика дуга.
Записати числові значення граничних точок дуги:та .
Записати загальне рішення нерівності:
.
2. Учень групи "В" (3 бали) (з місця допомагає учень з тієї ж групи):
Виділити дугу кола, що відповідає інтервалу: менша дуга
Записати числові значення граничних точок дуги:та . Складіть алгоритм і розв'яжіть систему тригонометричних нерівностей виду:
Відповідь: 
.
На обговорення проблеми у групах дається 2 хвилини, а потім вчитель сам викликає до дошки учнів, які на заготовлених колах, за прихованої підказки вчителя, вирішують систему нерівностей. Вчитель викликає учнів із різних груп, пропонуючи виконати завдання різної складності. Один учень працює біля дошки, а інший допомагає з місця.
Учень групи "А" (3 бали) (з місця допомагає учень з тієї ж групи):
Виділити дугу кола, що відповідає інтервалу.
5. Підбиття підсумків
Ми з вами:
Повторили алгоритми розв'язання тригонометричних нерівностей;
Вирішували у групах тригонометричні нерівності, як прості, і проблемні;
Розібрали розв'язання 3 тригонометричних систем нерівностей;
Розробили алгоритм розв'язання системи тригонометричних нерівностей у загальному вигляді.
Додаткова інформація до уроку:
Додаток 1: Аркуш особистих досягнень.
Додаток 2: "Розв'язання тригонометричних нерівностей"
Додаток 3 "Розв'язання системи тригонометричних нерівностей"
Аркуш особистих досягнень
Прізвище, Ім'я _______________________________________
Група____________________
1. Повторення (відзначити галочкою):
0 б за неправильну відповідь ______
1 б за не чітку відповідь ______
2 б за чітку відповідь ______
3 б за вміння знайти та виправити помилку ______
2. Робота у групах (відзначити галочкою):
0 б за не вирішене завдання ______
1 б за помилкове рішення (помилку виправив учитель) ______
2 б за помилкове рішення (помилку виправив учень) ______
3 б за правильне вирішення одного завдання ______
3. Індивідуальний залік із проблемної теми (відзначити галочкою):
0 б за не участь в обговоренні проблеми _______
1 б за участь в обговоренні проблеми _______
2 б за активне обговорення проблеми _______
3 б за вміння скласти алгоритм розв'язання _______
Оціни свої знання