Leybnits formulasi berilgan n-chi hisoblar ikki funksiya hosilasining hosilasi. Uning isboti ikki xilda keltiriladi. n-tartibli hosilani hisoblash misoli ko'rib chiqiladi.
TarkibShuningdek qarang: Ikki funktsiyaning hosilasi
Leybnits formulasi
Leybnits formulasidan foydalanib, ikkita funktsiya hosilasining n-tartibli hosilasini hisoblash mumkin. Bu shunday ko'rinadi:
(1)
,
Qayerda
- binomial koeffitsientlar.
Binam koeffitsientlari - bu binomning kuchlarda kengayish koeffitsientlari va:
.
Shuningdek, raqam n dan k gacha bo'lgan birikmalar sonidir.
Leybnits formulasining isboti
Ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasini qo'llaymiz:
(2)
.
(2) formulani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
.
Ya'ni, bir funktsiya x o'zgaruvchiga, ikkinchisi esa y o'zgaruvchiga bog'liq deb hisoblaymiz.
(3)
.
Hisoblash oxirida biz taxmin qilamiz.
Keyin oldingi formulani quyidagicha yozish mumkin:
.
Hosila shartlar yig'indisiga teng bo'lgani uchun va har bir atama ikkita funktsiyaning mahsuloti bo'lganligi sababli, yuqori darajadagi hosilalarni hisoblash uchun (3) qoidani izchil qo'llash mumkin.
(1)
.
Keyin n-tartibli hosila uchun bizda:
Buni hisobga olib, biz Leybnits formulasini olamiz:
Induksiya bilan isbotlash
(4)
.
Matematik induksiya usuli yordamida Leybnits formulasining isbotini keltiramiz.
.
Leybnits formulasini yana bir bor yozamiz:
n = 1 uchun bizda: 1 Bu ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasi. U adolatli.
Faraz qilaylik, (4) formula n-tartibli hosila uchun o‘rinli. n+ hosilasi uchun amal qilishini isbotlaylik
;
.
-chi tartib.
(5)
.
Keling, farqlaylik (4):
.
Shunday qilib, biz topdik: 1
Bu ikki funktsiya hosilasining hosilasi formulasi. U adolatli.
(5) ni almashtiramiz va shuni hisobga olamiz: 1
Bu (4) formulaning n+ hosilasi uchun bir xil ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatadi 1
.
Demak, (4) formula n = uchun amal qiladi
.
Ba'zi n = m soniga mos keladi degan farazdan u n = m + uchun amal qiladi, degan xulosa kelib chiqadi.
.
Leybnits formulasi isbotlangan.
(2)
.
Misol
;
.
Funktsiyaning n-chi hosilasini hisoblang
.
Leybnits formulasini qo'llaymiz
.
Bizning holatda
.
Sanoat jadvalidan bizda:
.
Biz trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlarini qo'llaymiz:
;
;
;
,
.
Keyin
;
.
Bu shuni ko'rsatadiki, sinus funktsiyasining differentsiatsiyasi uning ga siljishiga olib keladi.
.
Funktsiyaning hosilalarini topish.
Chunki uchun, u holda Leybnits formulasida faqat dastlabki uchta had nolga teng emas. Binom koeffitsientlarini topish. Leybnits formulasiga ko'ra bizda:
"Shuningdek qarang:»
"Usta va Margarita" romanidan
“Paskal uchburchagi shunchalik soddaki, hatto o‘n yoshli bola ham uni yozib qo‘ya oladi. Shu bilan birga, u bitmas-tuganmas xazinalarni yashiradi va bir qarashda bir-biri bilan hech qanday umumiylik bo'lmagan matematikaning turli tomonlarini birlashtiradi. Bunday noodatiy xususiyatlar bizga Paskal uchburchagini barcha matematikadagi eng oqlangan sxemalardan biri deb hisoblash imkonini beradi.
Martin Gardner.
Ishning maqsadi: qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini umumlashtiring va ularni masalalar yechishda qo'llanilishini ko'rsating.
Vazifalar:
1) ushbu masala bo'yicha ma'lumotlarni o'rganish va tizimlashtirish;
2) Nyuton binomialidan foydalangan holda misollar va darajalar yig'indisi va farqi formulalarini tahlil qiling.
O'rganish ob'ektlari: Nyuton binomiali, yig'indilar formulalari va darajalar farqlari.
Tadqiqot usullari:
O'quv va ilmiy-ommabop adabiyotlar, Internet resurslari bilan ishlash.
Hisoblash, taqqoslash, tahlil qilish, o'xshashlik.
Muvofiqlik. Biror kishi ko'pincha ba'zi narsalarni joylashtirishning barcha mumkin bo'lgan usullari sonini yoki biron bir harakatni amalga oshirishning barcha mumkin bo'lgan usullari sonini hisoblashi kerak bo'lgan muammolar bilan shug'ullanishi kerak. Biror kishi tanlashi kerak bo'lgan turli xil yo'llar yoki variantlar turli xil kombinatsiyalarni keltirib chiqaradi. Kombinatorika deb ataladigan matematikaning butun bir tarmog'i savollarga javob izlash bilan band: ma'lum bir holatda nechta kombinatsiya bor?
Ko'pgina mutaxassisliklar vakillari kombinatorik miqdorlar bilan shug'ullanishlari kerak: kimyogar, biolog, konstruktor, dispetcher va boshqalar. Kombinatorikaga qiziqishning ortishi. yaqinda kibernetika va kompyuter texnikasining jadal rivojlanishi bilan belgilanadi.
Kirish
Suhbatdosh o'zi duch kelgan muammolarning murakkabligini bo'rttirib ko'rsatayotganini ta'kidlamoqchi bo'lganda, ular: "Menga Nyutonning binomial ham yoqadi!" Aytishlaricha, mana Nyutonning binomiali, bu murakkab, ammo sizda qanday muammolar bor! Hatto qiziqishlari matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan odamlar ham Nyutonning binomial haqida eshitgan.
"Binomial" so'zi binomial degan ma'noni anglatadi, ya'ni. ikki shartning yig'indisi. Kimdan maktab kursi Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ma'lum:
( A+ b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 =a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .
Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan formuladir. Kvadratlar ayirmalari, kublarning yig‘indilari va ayirmalarini faktoring formulalari maktabda ham qo‘llaniladi. Ular boshqa darajalarga umumlashtiriladimi? Ha, bunday formulalar bor, ular ko'pincha turli muammolarni hal qilishda qo'llaniladi: bo'linish qobiliyatini isbotlash, kasrlarni kamaytirish, taxminiy hisoblar.
Umumlashtiruvchi formulalarni o'rganish deduktiv-matematik fikrlash va umumiy fikrlash qobiliyatlarini rivojlantiradi.
1-BO'lim. Nyuton BINOMAL FORMULA
Kombinatsiyalar va ularning xususiyatlari
X n ta elementdan iborat to‘plam bo‘lsin. K elementni o'z ichiga olgan X to'plamning har qanday Y kichik to'plami, k ≤ n bo'lgan n dan k elementning birikmasi deyiladi.
n dan k elementning turli birikmalari soni C n k bilan belgilanadi. Kombinatorikaning eng muhim formulalaridan biri C n k soni uchun quyidagi formuladir:
Aniq qisqartmalardan keyin quyidagicha yozilishi mumkin:
Ayniqsa,
Bu X to'plamda 0 ta elementdan iborat faqat bitta kichik to'plam - bo'sh kichik to'plam mavjudligiga to'liq mos keladi.
C n k raqamlari bir qator ajoyib xususiyatlarga ega.
Formula to'g'ri: S n k = S n - k n , (3)
(3) formulaning ma'nosi shundan iboratki, X ning barcha k a'zoli kichik to'plamlari to'plami bilan X ning barcha (n - k) a'zoli kichik to'plamlari to'plami o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjud: bu muvofiqlikni o'rnatish uchun, Y ning har bir k a'zoli kichik to'plami uchun X to'plamdagi to'ldiruvchisini solishtirish kifoya.
To'g'ri formula C 0 n + S 1 n + S 2 n + … + S n n = 2 n (4)
Chap tarafdagi yig'indi X to'plamining barcha kichik to'plamlari sonini ifodalaydi (C 0 n - 0 a'zoli kichik to'plamlar soni, C 1 n - bir a'zoli kichik to'plamlar soni va boshqalar).
Har qanday k, 1≤ k≤ n uchun tenglik to‘g‘ri bo‘ladi
C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Bu tenglikni (1) formuladan foydalanib olish oson. Aslida,
1.2. Nyutonning binomial formulasini chiqarish
Binomiyaning kuchlarini ko'rib chiqing a +b .
n = 0, (a +b ) 0 = 1
n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b
n = 2,(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2
n = 3,(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3
n = 4,(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4
n = 5,(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5
Keling, quyidagi naqshlarga e'tibor qaratamiz:
Hosil boʻlgan koʻphadning hadlar soni binomning koʻrsatkichidan bitta katta;
Birinchi hadning ko'rsatkichi n dan 0 ga kamayadi, ikkinchi hadning ko'rsatkichi 0 dan n gacha ortadi;
Barcha monomiallarning darajalari shartdagi binomialning darajasiga teng;
Har bir monomial turli darajadagi birinchi va ikkinchi ifodalarning mahsuloti va ma'lum bir son - binomial koeffitsient;
Kengayishning boshidan va oxiridan teng masofada joylashgan binom koeffitsientlari tengdir.
Ushbu formulalarning umumlashtirilishi Nyutonning binomial formulasi deb ataladigan quyidagi formuladir:
(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)
Ushbu formulada n har qanday natural son bo‘lishi mumkin.
(6) formulani chiqaramiz. Avvalo, yozamiz:
(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)
bu erda ko'paytiriladigan qavslar soni teng n. Yig'indini yig'indiga ko'paytirishning odatiy qoidasidan kelib chiqadiki, (7) ifoda barcha mumkin bo'lgan mahsulotlar yig'indisiga teng bo'lib, uni quyidagicha tuzish mumkin: yig'indilarning birinchisining istalgan a'zosi. a + b ikkinchi summaning istalgan hadiga ko'paytiriladi a+b, uchinchi summaning istalgan muddatiga va hokazo.
Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, uchun ifodasidagi atama (a + b ) n harflardan tashkil topgan n uzunlikdagi satrlarga mos keladi (birma-bir). a va b. Shartlar orasida o'xshash atamalar bo'ladi; ko'rinib turibdiki, bunday a'zolar bir xil miqdordagi harflarni o'z ichiga olgan qatorlarga mos keladi A. Lekin aynan k marta harfni o'z ichiga olgan qatorlar soni A, C n k ga teng. Bu aniq k marta koeffitsientli a harfini o'z ichiga olgan barcha atamalar yig'indisi C n k ga teng ekanligini anglatadi. a n - k b k . k 0, 1, 2, ..., n-1, n qiymatlarini qabul qilishi mumkinligi sababli, bizning fikrimizdan (6) formula kelib chiqadi. E'tibor bering (6) qisqaroq yozilishi mumkin: (8)
(6) formula Nyuton nomidan atalsa ham, aslida u Nyutondan oldin ham kashf etilgan (masalan, Paskal buni bilgan). Nyutonning xizmati shundan iboratki, u butun son bo'lmagan ko'rsatkichlar holati uchun ushbu formulaning umumlashtirilishini topdi. Bu 1664-1665 yillarda I. Nyuton edi. ixtiyoriy kasr va manfiy darajalar uchun binomial darajasini ifodalovchi formulani chiqardi.
(6) formulaga kiritilgan C 0 n, C 1 n, ..., C n n raqamlari odatda binomial koeffitsientlar deb ataladi, ular quyidagicha aniqlanadi:
(6) formuladan bu koeffitsientlarning bir qancha xossalarini olish mumkin. Masalan, taxmin qilish A=1, b = 1, biz olamiz:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,
bular. formula (4). Agar qo'ysangiz A= 1, b = -1, unda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
yoki C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....
Demak, kengayishning juft hadlari koeffitsientlari yig'indisi kengayishning toq hadlari koeffitsientlari yig'indisiga teng; ularning har biri 2 n -1 ga teng.
Kengayish uchlaridan teng masofada joylashgan atamalar koeffitsientlari tengdir. Bu xossalar munosabatdan kelib chiqadi: C n k = C n n - k
Qiziqarli maxsus holat
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
yoki qisqaroq (x +1) n = ∑C n k x n - k.
1.3. Polinom teoremasi
Teorema.
Isbot.
Qavslarni ochgandan so'ng monomialni olish uchun siz u olingan qavslarni, u olingan qavslarni va hokazolarni tanlashingiz kerak. va u olingan qavslar. Shunga o'xshash atamalarni keltirgandan keyin bu monomialning koeffitsienti bunday tanlovni amalga oshirish mumkin bo'lgan usullar soniga teng. Saylovlar ketma-ketligining birinchi bosqichi yo'llar bilan, ikkinchi bosqich - kirish, uchinchi - va hokazo, th bosqich - yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Kerakli koeffitsient mahsulotga teng
2-BO'lim. Yuqori tartibli hosilalar.
Yuqori tartibli hosilalar tushunchasi.
Funktsiya qaysidir oraliqda differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin uning hosilasi, umuman olganda, bog'liq X, ya’ni funksiyasi hisoblanadi X. Binobarin, u bilan bog'liq holda, hosila mavjudligi haqida yana savol tug'ilishi mumkin.
Ta'rif . Birinchi hosilaning hosilasi deyiladi ikkinchi tartibli hosila yoki ikkinchi hosila va belgisi yoki belgisi bilan belgilanadi
Ta'rif . Ikkinchi hosilaning hosilasi uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deyiladi va yoki belgisi bilan belgilanadi.
Ta'rif . Hosiln -chi tartib funktsiyalari hosilaning birinchi hosilasi deyiladi (n -1) ushbu funktsiyaning tartibi va belgisi bilan belgilanadi yoki:
Ta'rif . Birinchisidan yuqori tartibli hosilalar deyiladi yuqori hosilalar.
Izoh. Xuddi shunday, biz formulani olishimiz mumkin n-funktsiyaning hosilasi:
Parametrli aniqlangan funksiyaning ikkinchi hosilasi
Agar funktsiya tenglamalar orqali parametrik berilgan bo'lsa, ikkinchi tartibli hosilani topish uchun uning birinchi hosilasi uchun ifodani farqlash kerak, chunki murakkab funktsiya mustaqil o'zgaruvchi.
O'shandan beri
va shuni hisobga olib,
Biz tushunamiz, ya'ni.
Uchinchi hosilani xuddi shunday topish mumkin.
Yig'indi, ko'paytma va qismning differensiali.
Differensial hosiladan mustaqil o'zgaruvchining differentsialiga ko'paytirish yo'li bilan olinganligi sababli, asosiyning hosilalarini bilish. elementar funktsiyalar, shuningdek, hosilalarni topish qoidalari, differentsiallarni topish uchun o'xshash qoidalarga kelish mumkin.
1 0 . Konstantaning differensialligi nolga teng.
2 0 . Chekli sonli differentsiallanuvchi funksiyalarning algebraik yig‘indisining differensiali bu funksiyalar differentsiallarining algebraik yig‘indisiga teng. .
3 0 . Ikki differensiallanuvchi funktsiya ko'paytmasining differensialligi birinchi funktsiyaning ikkinchi va ikkinchi funksiyaning birinchisining differentsial ko'paytmalari yig'indisiga teng. .
Natija. Doimiy ko'paytuvchini differentsial belgidan chiqarish mumkin.
2.3. Parametrli aniqlangan funksiyalar, ularning differentsiatsiyasi.
Ta'rif . Agar ikkala o'zgaruvchi bo'lsa, funktsiya parametrik ravishda aniqlangan deyiladi X Va y har biri bir xil yordamchi o'zgaruvchining yagona qiymatli funktsiyalari sifatida alohida belgilanadi - parametrt :
Qayerdat ichida farqlanadi.
Izoh . Doira va ellipsning parametrik tenglamalarini keltiramiz.
a) Markazi koordinatali va radiusda joylashgan doira r parametrik tenglamalarga ega:
b) ellips uchun parametrik tenglamalarni yozamiz:
Parametrni istisno qilish orqali t Ko'rib chiqilayotgan chiziqlarning parametrik tenglamalaridan ularning kanonik tenglamalariga kelish mumkin.
Teorema . Agar funktsiya y argumentdan x ga nisbatan va differensiallanadigan tenglamalar orqali parametrik berilgant funktsiyalari va keyin.
2.4. Leybnits formulasi
Hosilini topish uchun n ikki funksiya hosilasining inci tartibi katta amaliy ahamiyati Leybnits formulasiga ega.
Mayli u Va v- o'zgaruvchidan ba'zi funktsiyalar X, har qanday tartibdagi hosilalarga ega va y = uv. ifoda qilaylik n-funksiyalarning hosilalari orqali hosila u Va v .
Bizda doimiy
Ikkinchi va uchinchi hosilalar uchun ifodalar va Nyuton binomialining mos ravishda ikkinchi va uchinchi darajalarda kengayishi o'rtasidagi o'xshashlikni payqash oson, lekin ko'rsatkichlar o'rniga hosila tartibini va funktsiyalarni aniqlaydigan raqamlar mavjud. “nol tartibli hosilalar” deb hisoblash mumkin. Buni hisobga olib, biz Leybnits formulasini olamiz:
Bu formulani matematik induksiya orqali isbotlash mumkin.
3-BO'lim. LEYBNITS FORMULANI QO'LLANISH.
Ikki funktsiya mahsulotining hosilasini hisoblash uchun formulaning ketma-ket qo'llanilishini chetlab o'tib, ikkita funktsiya mahsulotidan istalgan tartibning hosilasini hisoblash uchun foydalaning. Leybnits formulasi.
Ushbu formuladan foydalanib, biz ikkita funktsiya mahsulotining n-tartibli hosilasini hisoblash misollarini ko'rib chiqamiz.
1-misol.
Funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping
Ta'rifga ko'ra, ikkinchi hosila birinchi hosilaning birinchi hosilasidir, ya'ni
Shuning uchun, birinchi navbatda berilgan funksiyaning birinchi tartibli hosilasini ga muvofiq topamiz farqlash qoidalari va foydalanish hosilalar jadvali:
Endi birinchi tartibli hosilaning hosilasini topamiz. Bu kerakli ikkinchi darajali hosila bo'ladi:
Javob:
2-misol.
Funksiyaning ikkinchi darajali hosilasini toping
Yechim.
Berilgan funktsiyaning birinchi, ikkinchi, uchinchi va shunga o'xshash tartiblarning hosilalarini ketma-ket topamiz, bu hosila uchun umumlashtirilishi mumkin bo'lgan naqshni o'rnatish uchun.
Birinchi tartibli hosilani quyidagicha topamiz qismning hosilasi:
Bu erda ifoda sonning faktoriali deyiladi. Sonning faktoriali birdan togacha bo'lgan sonlarning ko'paytmasiga teng, ya'ni
Ikkinchi tartibli hosila birinchi hosilaning birinchi hosilasidir, ya'ni
Uchinchi tartibli hosila:
To'rtinchi hosila:
Naqshga e'tibor bering: hisoblagichda hosila tartibiga teng bo'lgan sonning faktoriali mavjud va maxrajda darajani ifodalash hosila tartibidan bir kattaroqdir, ya'ni
Javob.
3-misol.
Funktsiyaning nuqtadagi uchinchi hosilasining qiymatini toping.
Yechim.
Ga binoan yuqori tartibli hosilalar jadvali, bizda ... bor:
Ko'rib chiqilayotgan misolda, ya'ni biz olamiz
E'tibor bering, shunga o'xshash natijani hosilalarni ketma-ket topish orqali olish mumkin.
IN berilgan nuqta uchinchi hosila quyidagilarga teng:
Javob:
4-misol.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping
Yechim. Birinchidan, birinchi hosilani topamiz:
Ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosila uchun ifodani yana farqlaymiz:
Javob:
5-misol.
Agar toping
Berilgan funktsiya ikki funktsiyaning ko'paytmasi bo'lganligi sababli, to'rtinchi tartibli hosilani topish uchun Leybnits formulasini qo'llash maqsadga muvofiqdir:
Keling, barcha hosilalarni topamiz va atamalar koeffitsientlarini hisoblaymiz.
1) Terminlar koeffitsientlarini hisoblaymiz:
2) Funktsiyaning hosilalarini toping:
3) Funktsiyaning hosilalarini toping:
Javob:
6-misol.
y=x 2 cos3x funksiya berilgan. Uchinchi tartibli hosilani toping.
u=cos3x , v=x 2 bo'lsin . Keyin, Leybnits formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Ushbu iboradagi hosilalar quyidagi shaklga ega:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
Demak, berilgan funksiyaning uchinchi hosilasi ga teng
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
7-misol.
Hosilini toping n th tartib funktsiyasi y=x 2 cosx.
Faraz qilib, Leybnits formulasidan foydalanamizu=cosx, v=x 2 .
Keyin Seriyaning qolgan shartlari nolga teng, chunki
i>2 uchun (x2)(i)=0. hosila n
kosinus funksiyasining 1-tartibi:
Demak, funktsiyamizning hosilasi ga teng
XULOSA
Ishda mavzu bo'yicha ma'lumotlar tizimlashtirilgan, Nyuton binomialidan foydalangan holda masalalarga misollar va darajalar yig'indisi va ayirmasi formulalari keltirilgan. Ishdan matematik to'garak ishida ham, uchun ham foydalanish mumkin o'z-o'zini o'rganish matematikaga qiziquvchilar.
FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI
1.Vilenkin N.Ya. Kombinatorika - tahrir. "Fan". - M., 1969 yil
2. Nikolskiy S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun tashkilotlarning asosiy va ilg'or darajalari - M .: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.
3. Statistika, kombinatorika va ehtimollar nazariyasiga oid masalalar yechish. 7-9 sinflar / muallif - tuzuvchi V.N. Studenetskaya. - tahrir. 2-chi, qayta ko'rib chiqilgan, - Volgograd: O'qituvchi, 2009 yil.
4. Savushkina I.A., Xugayev K.D., Tishkin S.B. Algebraik tenglamalar yuqori darajalar /uslubiy qo‘llanma universitetlararo talabalar uchun tayyorgarlik bo'limi. - Sankt-Peterburg, 2001 yil.
5. Sharygin I.F. Matematikadan fakultativ kurs: Masalalar yechish. Oʻquv qoʻllanma 10-sinf uchun o'rta maktab. - M.: Ta'lim, 1989 yil.
6.Fan va hayot, Nyuton binomiali va Paskal uchburchagi[Elektron resurs]. - Kirish rejimi: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Amaliy masalalarni yechish integralni hisoblashdan kelib chiqadi, lekin buni har doim ham aniq bajarish mumkin emas. Ba'zan siz ma'nosini bilishingiz kerak aniq integral ma'lum darajada aniqlik bilan, masalan, mingdan birgacha.
Muayyan integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan topish kerak bo'lganda muammolar mavjud, keyin Simposniy usuli, trapezoidlar va to'rtburchaklar kabi raqamli integratsiya qo'llaniladi. Hamma holatlar uni ma'lum bir aniqlik bilan hisoblashimizga imkon bermaydi.
Ushbu maqola Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashni o'rganadi. Bu aniq integralni aniq hisoblash uchun zarur. Beriladi batafsil misollar, o'zgaruvchining aniq integraldagi o'zgarishlari hisobga olinadi va qismlar bo'yicha integrallashda aniq integralning qiymatlarini topamiz.
Nyuton-Leybnits formulasi
Ta'rif 1y = y (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ] va F (x) lardan biri antiderivativ funktsiyalar keyin bu segment Nyuton-Leybnits formulasi adolatli hisoblanadi. Buni shunday yozamiz: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Ushbu formula hisobga olinadi integral hisobining asosiy formulasi.
Ushbu formulani isbotlash uchun mavjud o'zgaruvchan yuqori chegarasi bo'lgan integral tushunchasidan foydalanish kerak.
y = f (x) funksiya [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b ], keyin argumentning qiymati x ∈ a; b , integral esa ∫ a x f (t) d t ko'rinishga ega va yuqori chegaraning funksiyasi hisoblanadi. Funktsiyaning yozuvini olish kerak ∫ a x f (t) d t = P (x) , u uzluksiz va ∫ a x f (t) d t " = P " (x) = ko'rinishdagi tengsizlik bo'ladi. f (x) buning uchun amal qiladi.
PH (x) funktsiyaning o'sishi ∆ x argumentining o'sishiga to'g'ri kelishini aniqlaylik, aniq integralning beshinchi asosiy xususiyatidan foydalanish kerak va biz olamiz
P (x + ∆ x) - P x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x
bu erda c ∈ x qiymati; x + ∆ x.
Tenglikni P (x + ∆ x) - PH (x) ∆ x = f (c) ko'rinishida tuzamiz. Funktsiya hosilasining ta'rifi bilan chegaraga ∆ x → 0 bo'lishi kerak, keyin P "(x) = f (x) ko'rinishdagi formulani olamiz. Biz P (x) ekanligini topamiz. y = f (x) ko'rinishdagi funktsiyaning antiderivativlaridan biri, aks holda, ifoda yozilishi mumkin;
F (x) = PH (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, bu erda C qiymati doimiy.
Aniq integralning birinchi xossasidan foydalanib F (a) ni hisoblaymiz. Keyin biz buni olamiz
F (a) = P (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, shuning uchun biz C = F (a) ni olamiz. Natija F (b) ni hisoblashda qo'llaniladi va biz quyidagilarni olamiz:
F (b) = P (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), boshqacha aytganda, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Tenglik Nyuton-Leybnits formulasi bilan isbotlangan ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Funktsiyaning o'sishini F x a b = F (b) - F (a) deb olamiz. Belgilanishdan foydalanib, Nyuton-Leybnits formulasi ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ko'rinishini oladi.
Formulani qo'llash uchun y = f (x) integrali funksiyasining [ a segmentidan y = F (x) ga qarshi hosilalaridan birini bilish kerak; b ], ushbu segmentdan antiderivativning o'sishini hisoblang. Keling, Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.
1-misol
Aniq integral ∫ 1 3 x 2 d x ni Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblang.
Yechim
y = x 2 ko rinishdagi integrasiya [ 1 ” oralig idan uzluksiz ekanligini hisobga oling; 3 ] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi. Jadvalga ko'ra noaniq integrallar y = x 2 funktsiyasi x ning barcha haqiqiy qiymatlari uchun antiderivativlar to'plamiga ega ekanligini ko'ramiz, bu x ∈ 1 ni anglatadi; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C shaklida yoziladi. C = 0 bo'lgan antiderivativni olish kerak, keyin biz F (x) = x 3 3 ni olamiz.
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanamiz va aniq integralni hisoblash ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ko'rinishda ekanligini aniqlaymiz.
Javob:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
2-misol
Nyuton-Leybnits formulasi yordamida aniq integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x ni hisoblang.
Yechim
Berilgan funksiya [ - 1 dan uzluksiz; 2 ], ya'ni u integrallash mumkin. Noaniq integralning ∫ x · e x 2 + 1 d x qiymatini differensial belgi ostida yig'ish usuli yordamida topish kerak, keyin ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( ni olamiz) x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.
Demak, bizda y = x · e x 2 + 1 funksiyaning barcha x, x ∈ - 1 uchun o'rinli bo'lgan antiderivativlar to'plami mavjud; 2.
C = 0 da antiderivativni olish va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Javob:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
3-misol
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x va ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrallarini hisoblang.
Yechim
Segment - 4; - 1 2 integral belgisi ostidagi funksiya uzluksiz ekanligini, ya’ni integrallanishini bildiradi. Bu yerdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiyaning anti hosilalari to'plamini topamiz. Biz buni tushunamiz
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
F (x) = 2 x 2 - 2 x antiderivativni olish kerak, keyin Nyuton-Leybnits formulasini qo'llagan holda, biz hisoblab chiqiladigan integralni olamiz:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Biz ikkinchi integralni hisoblashga o'tamiz.
Segmentdan [- 1; 1 ] bizda integratsiya funksiyasi cheklanmagan deb hisoblanadi, chunki lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , shundan kelib chiqadiki, zaruriy shart segmentdan integratsiyalashuv. U holda F (x) = 2 x 2 - 2 x [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 uchun antiderivativ emas; 1 ], chunki O nuqta segmentga tegishli, ammo ta'rif sohasiga kiritilmagan. Demak, [ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].
Javob: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 oraliqdan y = 4 x 3 + 2 x 2 funksiya uchun aniq Riman va Nyuton-Leybnits integrali mavjud; 1].
Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin aniq integral mavjudligi haqida aniq ma'lumotga ega bo'lishingiz kerak.
Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish
y = f (x) funksiya aniqlangan va [ a oraliqdan uzluksiz bo'lganda; b], keyin mavjud to'plam [a; b] a segmentida aniqlangan x = g (z) funksiya qiymatlari diapazoni deb hisoblanadi; b mavjud uzluksiz hosila bilan, bu erda g (a) = a va g b = b, bundan ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z ekanligini olamiz.
Bu formula ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak bo'lganda qo'llaniladi, bu erda noaniq integral ∫ f (x) d x ko'rinishga ega bo'lsa, biz almashtirish usuli yordamida hisoblaymiz.
4-misol
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi aniq integralini hisoblang.
Yechim
Integratsiya funksiyasi integrallash oralig'ida uzluksiz hisoblanadi, ya'ni aniq integral mavjud. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 yozuvini keltiramiz. X = 9 qiymati z = 2 9 - 9 = 9 = 3 ekanligini bildiradi va x = 18 uchun z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 ni olamiz, keyin g a = g (3) = 9, g b = g 3 3 = 18. Olingan qiymatlarni ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) g " (z) d z formulasiga almashtirganda, biz buni olamiz
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Noaniq integrallar jadvaliga ko'ra, bizda 2 z 2 + 9 funksiyaning anti hosilalaridan biri 2 3 a r c t g z 3 qiymatini oladi. Keyin, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llaganimizda, biz buni olamiz
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r p -3 18
Topilma ∫ a b f (x) d x = ∫ a b f (g (z)) · g " (z) d z formulasidan foydalanmasdan ham amalga oshirilishi mumkin edi.
Agar almashtirish usulidan foydalanib, ∫ 1 x 2 x - 9 d x ko'rinishdagi integraldan foydalansak, u holda ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C natijaga kelishimiz mumkin.
Bu yerdan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va aniq integralni hisoblaymiz. Biz buni tushunamiz
9 18 2 z 2 + 2 3 A r c t g 1 18 - 9 3 a r c t g 1 - p 4 - p 4 - p 4 - p 4 - 2 3 - 2 = p 18
Natijalar bir xil edi.
Javob: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = p 18
Aniq integralni hisoblashda qismlar bo'yicha integrallash
Agar segmentda [ a ; b ] u (x) va v (x) funktsiyalari aniqlangan va uzluksiz, keyin ularning birinchi tartibli hosilalari v " (x) · u (x) integrallanishi mumkin, shuning uchun bu segmentdan integrallanuvchi funksiya uchun u " (x) · v ( x) tenglik ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x to'g'ri.
Keyin formuladan foydalanish mumkin, ∫ a b f (x) d x integralini hisoblash kerak, ∫ f (x) d x esa uni qismlar bo'yicha integrallash yordamida izlash kerak edi.
5-misol
Aniq integral ∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x ni hisoblang.
Yechim
x · sin x 3 + p 6 funksiyasi - p 2 oraliqda integrallanadi; 3 p 2, bu uzluksizligini bildiradi.
u (x) = x, keyin d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + p 6 d x, va d (u (x)) = u " (x) d x = d x, va v (x) = - 3 cos p 3 + p 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x formulasidan biz shuni olamiz
∫ - p 2 3 p 2 x · sin x 3 + p 6 d x = - 3 x · cos x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 - ∫ - p 2 3 p 2 - 3 cos x 3 + p 6 d x = = - 3 · 3 p 2 · cos p 2 + p 6 - - 3 · - p 2 · cos - p 6 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 - p 2 3 p 2 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 sin p 2 + p 6 - sin - p 6 + p 6 = 9 p 4 - 3 p 2 + 9 3 2 = 3 p 4 + 9 3 2
Misolni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin.
Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, qismlar bo‘yicha integrallash orqali x · sin x 3 + p 6 funksiyaning anti hosilalari to‘plamini toping:
∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + p 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + p 6 = = - 3 cos x 3 + p 6 + 3 ∫ cos x 3 + p 6 d x = = - 3 x cos x 3 + p 6 + 9 sin x 3 + p 6 + C ⇒ ∫ - p 2 3 p 2 x sin x 3 + p 6 d x = - 3 cos x 3 + p 6 + 9 sincos x 3 + p 6 - - - 3 - p 2 cos - p 6 + p 6 + 9 sin - p 6 + p 6 = = 9 p 4 + 9 3 2 - 3 p 2 - 0 = 3 p 4 + 9 3 2
Javob: ∫ x · sin x x 3 + p 6 d x = 3 p 4 + 9 3 2
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing