"Jismoniy miqdorlarning o'lchov birliklari" - mutlaq xato o'lchash moslamasining bo'linish qiymatining yarmiga teng. Mikrometr. Natija to'g'ridan-to'g'ri o'lchash moslamasi yordamida olinadi. Quti uzunligi: kamomad bilan 4 sm, ortiqcha bilan 5 sm. Har biri uchun jismoniy miqdor mos keladigan o'lchov birliklari mavjud. Tomosha qiling. Nisbiy xato.
“Uzunlik qiymatlari” - 2. Qanday miqdorlarni bir-biri bilan solishtirish mumkin: 2. Quyidagi masala nima uchun qo‘shish yordamida yechilishini tushuntiring: 2. Masalani yechishda harakat tanlashni asoslang. Qancha paket oldingiz? Ushbu qutilarning uchtasida nechta qalam bor? Ko'ylaklar 12 m matodan qilingan, har biriga 4 m dan foydalangan holda nechta ko'ylak tayyorlangan?
"Jismoniy miqdorlar" - fizikani va boshqalarni ajratib turadigan chegaralar tabiiy fanlar, tarixiy shartli. Har qanday o'lchov natijasi har doim ba'zi xatolarni o'z ichiga oladi. Yangi mavzu. Tezlik. Jismlarning o'zaro ta'siri. Jismoniy qonunlar matematika tilida ifodalangan miqdoriy munosabatlar shaklida taqdim etiladi. O'lchov xatosi.
“Miqdorni o‘lchash natijasidagi son” - “Miqdorni o‘lchash natijasidagi son” 1-sinf matematika darsi. O'lchov tayoqchasi yordamida segment uzunligini o'lchash.
"Raqamlar va miqdorlar" - Massa tushunchasi bilan tanishish. O'lchovsiz massalarni solishtirish. Rim yozma raqamlash. Imkoniyat. Talaba quyidagilarni bilib oladi: Sonlar va miqdorlar (30 soat) Koordinata nuri Koordinata nuri haqida tushuncha. 2-sinfda “Son va miqdorlar” bo’limi bo’yicha rejalashtirilgan fan natijalari. Umumiy tamoyil o'rganilayotgan sonlar doirasida kardinal sonlarni shakllantirish.
"Talab miqdori" - talabning o'zgarishi sabablari. Grafikda olingan DD egri chizig'i (inglizcha talab - "talab" dan) talab egri chizig'i deb ataladi. Elastik talab (Epd>1). Talab miqdori. Talabga ta'sir etuvchi omillar. Talab miqdorining narx darajasiga bog'liqligi talab shkalasi deyiladi. Mutlaq noelastik talab (Epd=0).
Matematik kutish. Matematik kutish diskret tasodifiy miqdor X, chekli sonli qiymatlarni olish Xi ehtimollar bilan ri, miqdor deyiladi:
Matematik kutish uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uning qiymatlari mahsulotining integrali deyiladi X ehtimollik taqsimoti zichligi bo'yicha f(x):
(6b)
Noto'g'ri integral (6 b) mutlaq konvergent deb qabul qilinadi (aks holda ular matematik kutish deb aytishadi. M(X) mavjud emas). Matematik kutish xarakterlanadi o'rtacha qiymat tasodifiy o'zgaruvchi X. Uning o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladi.
Matematik kutishning xususiyatlari:
Dispersiya. Farqlanish tasodifiy o'zgaruvchi X raqam deyiladi:
Farq shundaki tarqalish xususiyati tasodifiy o'zgaruvchilar qiymatlari X uning o'rtacha qiymatiga nisbatan M(X). Dispersiya o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining kvadratiga teng. Diskret tasodifiy miqdor uchun dispersiya (8) va matematik kutish (5) va uzluksiz tasodifiy miqdor uchun (6) ta'riflariga asoslanib, biz dispersiya uchun o'xshash ifodalarni olamiz:
(9)
Bu yerga m = M(X).
Dispersiya xususiyatlari:
Standart og'ish:
(11)
Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi bilan bir xil o'lchamga ega bo'lgani uchun u dispersiyadan ko'ra ko'proq tarqalish o'lchovi sifatida ishlatiladi.
Tarqatish momentlari. Matematik kutish va dispersiya tushunchalari ko'proq maxsus holatlardir umumiy tushuncha raqamli xususiyatlar uchun tasodifiy o'zgaruvchilar – tarqatish momentlari. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish momentlari tasodifiy miqdorning ba'zi oddiy funktsiyalarining matematik taxminlari sifatida kiritiladi. Shunday qilib, buyurtma vaqti k nuqtaga nisbatan X 0 ga matematik kutish deyiladi M(X–X 0 )k. Kelib chiqishi haqida lahzalar X= 0 chaqiriladi dastlabki daqiqalar va belgilanadi:
(12)
Birinchi tartibning boshlang'ich momenti ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorni taqsimlash markazidir:
(13)
Tarqatish markazi haqida lahzalar X= m chaqiriladi markaziy nuqtalar va belgilanadi:
(14)
(7) dan birinchi tartibli markaziy moment har doim nolga teng ekanligi kelib chiqadi:
Markaziy momentlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining kelib chiqishiga bog'liq emas, chunki doimiy qiymatga o'tkazilganda BILAN uning taqsimlanish markazi bir xil qiymatga siljiydi BILAN, va markazdan og'ish o'zgarmaydi: X – m = (X – BILAN) – (m – BILAN).
Endi bu aniq dispersiya- Bu ikkinchi tartibli markaziy moment:
Asimmetriya. Uchinchi darajali markaziy moment:
(17)
baholash uchun xizmat qiladi taqsimot nosimmetrikligi. Agar taqsimlanish nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lsa X= m, keyin uchinchi tartibning markaziy momenti nolga teng bo'ladi (toq tartiblarning barcha markaziy momentlari kabi). Shuning uchun, agar uchinchi tartibli markaziy moment noldan farq qilsa, u holda taqsimot simmetrik bo'lishi mumkin emas. Asimmetriyaning kattaligi o'lchovsiz yordamida baholanadi assimetriya koeffitsienti:
(18)
Asimmetriya koeffitsientining belgisi (18) o'ng yoki chap tomonli assimetriyani ko'rsatadi (2-rasm).
Guruch. 2. Tarqatish assimetriyasining turlari.
Ortiqcha. To'rtinchi tartibli markaziy moment:
(19)
deb atalmishlarni baholashga xizmat qiladi ortiqcha, bu egri chiziqqa nisbatan taqsimot markaziga yaqin bo'lgan taqsimot egri chizig'ining keskinlik darajasini (o'tkirligi) aniqlaydi. normal taqsimot. Oddiy taqsimot uchun kurtoz sifatida qabul qilingan qiymat:
(20)
Shaklda. 3-rasmda turli kurtoz qiymatlari bilan taqsimlash egri chiziqlari misollari ko'rsatilgan. Oddiy tarqatish uchun E= 0. Odatdagidan yuqori cho'qqiga ega bo'lgan egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega, tekisroq bo'lganlar salbiy kurtozga ega.
Guruch. 3. Har xil darajadagi tiklik (kurtoz) bilan taqsimlanish egri chiziqlari.
Yuqori tartibli momentlar odatda matematik statistikaning muhandislik ilovalarida ishlatilmaydi.
Moda
diskret tasodifiy o'zgaruvchi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. Moda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - uning ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymati (2-rasm). Agar taqsimot egri chizig'ida bitta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi unimodal. Agar taqsimot egri chizig'ida bir nechta maksimal bo'lsa, u holda taqsimot deyiladi multimodal. Ba'zan egri chiziqlari maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar deyiladi modaga qarshi. Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Maxsus holatda, uchun modal, ya'ni. rejimga ega, simmetrik taqsimot va matematik kutish mavjud bo'lganda, ikkinchisi taqsimotning simmetriya rejimi va markaziga to'g'ri keladi.
Median tasodifiy o'zgaruvchi X- bu uning ma'nosi Meh, ular uchun tenglik mavjud: ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli teng X kamroq yoki ko'proq bo'ladi Meh. Geometrik jihatdan median taqsimlash egri chizig'i ostidagi maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abssissasi (2-rasm). Simmetrik modal taqsimotda median, rejim va matematik kutish bir xil bo'ladi.
Ko'pgina amaliy muammolarni hal qilishda har doim ham tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflash, ya'ni taqsimot qonunlarini aniqlash kerak emas. Bundan tashqari, diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun funktsiya yoki taqsimotlar seriyasini va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun zichlikni qurish noqulay va keraksizdir.
Ba'zan taqsimlash xususiyatlarini qisman tavsiflovchi individual raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya. Har bir tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini bilish kerak, uning atrofida uning mumkin bo'lgan qiymati guruhlanadi yoki bu qiymatlarning o'rtachaga nisbatan tarqalish darajasi va hokazo.
Tarqatishning eng muhim belgilarining xarakteristikalari soni xarakteristikalar deyiladi tasodifiy o'zgaruvchi. Ularning yordami bilan ko'plab ehtimolli muammolarni ular uchun taqsimot qonunlarini aniqlamasdan hal qilish osonroq.
Tasodifiy o'zgaruvchining sonlar o'qidagi joylashuvining eng muhim xarakteristikasi hisoblanadi matematik kutish M[X]= a, ba'zan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati deb ataladi. uchun bilan diskret tasodifiy X mumkin bo'lgan qiymatlar x 1 , x 2 , … , x n va ehtimolliklar p 1 , p 2 ,… , p n formula bilan aniqlanadi
=1 ekanligini hisobga olsak, biz yozishimiz mumkin
Shunday qilib, matematik kutish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir. Ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi.
uchun uzluksiz tasodifiy miqdor X matematik kutish yig'indisi bilan emas, balki aniqlanadi integral
Qayerda f(x) - miqdorni taqsimlash zichligi X.
Matematik kutish hamma tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Ulardan ba'zilari uchun yig'indi yoki integral farqlanadi va shuning uchun matematik kutish yo'q. Bunday hollarda, aniqlik uchun tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan o'zgarishlar doirasi cheklangan bo'lishi kerak X, buning uchun yig'indi yoki integral yaqinlashadi.
Amalda, tartib va median kabi tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining xarakteristikalari ham qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchan rejimuning eng ehtimoliy qiymati deyiladi. Umuman olganda, rejim va matematik kutish bir-biriga mos kelmaydi.
Tasodifiy o'zgaruvchining medianasiX - bu tasodifiy o'zgaruvchining kattaroq yoki kichikroq qiymatini olish ehtimoli teng bo'lgan qiymatga nisbatan, ya'ni bu taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir. Nosimmetrik taqsimot uchun barcha uchta xususiyat bir xil.
Ehtimollar nazariyasida matematik kutish, rejim va medianadan tashqari boshqa xarakteristikalar qo'llaniladi, ularning har biri taqsimotning o'ziga xos xususiyatini tavsiflaydi. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini tavsiflovchi, ya'ni uning mumkin bo'lgan qiymatlari matematik kutish atrofida qanchalik yaqin guruhlanganligini ko'rsatadigan raqamli xususiyatlar dispersiya va standart og'ishdir. Ular tasodifiy o'zgaruvchini sezilarli darajada to'ldiradi, chunki amalda ko'pincha teng matematik taxminlarga ega, ammo turli xil taqsimotlarga ega tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud. Dispersiya xarakteristikalarini aniqlashda tasodifiy miqdor orasidagi farqdan foydalaning X va uning matematik kutilishi, ya'ni.
Qayerda A = M[X] - matematik kutish.
Bu farq deyiladi markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi, mos keladigan qiymat X, va belgilanadi :
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi qiymatning matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi, ya'ni:
D[ X]=M[( X-a) 2 ], yoki
D[ X]=M[ 2 ].
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi va tarqalishining qulay tavsifidir. Biroq, bu aniq emas, chunki u tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega.
Dispersiyani vizual tavsiflash uchun o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladigan qiymatdan foydalanish qulayroqdir. Bu miqdor standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi, bu uning dispersiyasining musbat kvadrat ildizi.
Kutish, rejim, median, dispersiya, standart og'ish - tasodifiy o'zgaruvchilarning eng ko'p ishlatiladigan raqamli tavsiflari. Amaliy masalalarni hal qilishda, taqsimot qonunini aniqlashning iloji bo'lmaganda, tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi taqsimotning ba'zi bir xossalarini ifodalovchi uning sonli xarakteristikalari hisoblanadi.
Markaz (matematik kutish) va dispersiya (dispersiya) taqsimotining asosiy xususiyatlaridan tashqari, ko'pincha taqsimotning boshqa muhim xususiyatlarini tavsiflash kerak - simmetriya Va aniqlik, taqsimlash momentlari yordamida ifodalanishi mumkin.
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi, agar uning barcha momentlari ma'lum bo'lsa, to'liq aniqlanadi. Biroq, ko'plab taqsimotlarni birinchi to'rt moment yordamida to'liq tasvirlash mumkin, ular nafaqat taqsimotlarni tavsiflovchi parametrlar, balki empirik taqsimotlarni tanlashda ham muhim ahamiyatga ega, ya'ni ma'lum bir moment uchun momentlarning raqamli qiymatlarini hisoblash orqali. statistik qator va maxsus grafiklardan foydalanib, siz taqsimot qonunini aniqlashingiz mumkin.
Ehtimollar nazariyasida ikki turdagi momentlar ajratiladi: boshlang'ich va markaziy.
K-tartibning dastlabki momenti tasodifiy o'zgaruvchi T miqdorning matematik kutilishi deyiladi Xk, ya'ni
Demak, diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun u yig'indi bilan ifodalanadi
va uzluksiz uchun - integral bilan
Tasodifiy o'zgaruvchining dastlabki momentlari orasida alohida ma'no birinchi darajali momentga ega, bu matematik kutishdir. Yuqori tartibli boshlang'ich momentlar birinchi navbatda markaziy momentlarni hisoblash uchun ishlatiladi.
K-tartibning markaziy momenti tasodifiy o'zgaruvchi - bu qiymatning matematik kutilishi ( X - M [X])k
Qayerda A = M[X].
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun u yig'indi bilan ifodalanadi
A uzluksiz uchun - integral bo'yicha
Tasodifiy o'zgaruvchining markaziy momentlari orasida alohida ahamiyatga ega ikkinchi darajali markaziy moment, tasodifiy miqdorning dispersiyasini ifodalaydi.
Birinchi tartibli markaziy moment har doim nolga teng.
Uchinchi boshlanish momenti taqsimotning assimetriyasini (qiyshiqligini) tavsiflaydi va diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni kuzatish natijalariga ko'ra tegishli iboralar bilan aniqlanadi:
U tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega bo'lgani uchun, o'lchovsiz xarakteristikani olish uchun, m 3 uchinchi darajaga standart og'ish bilan bo'linadi
Olingan qiymat assimetriya koeffitsienti deb ataladi va belgiga qarab, ijobiy ( Sifatida> 0) yoki salbiy ( Sifatida< 0) taqsimotning qiyshiqligi (2.3-rasm).
71, Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari ishonchlilik ko'rsatkichlarini hisoblash uchun amaliyotda keng qo'llaniladi. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy o'zgaruvchini to'liq, har tomonlama xarakterlashning hojati yo'q. Ko'pincha tasodifiy miqdorni taqsimlashning muhim xususiyatlarini ma'lum darajada tavsiflovchi faqat raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya, masalan: o'rtacha qiymat , uning atrofida tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan; tasodifiy miqdorning tarqalishini tavsiflovchi raqam o'rtacha qiymatga nisbatan va hokazo. Tasodifiy miqdorning eng muhim belgilarini siqilgan shaklda ifodalashga imkon beruvchi raqamli parametrlar tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari deyiladi.
A) b)
Guruch. 11 Matematik kutishning ta'rifi
Ishonchlilik nazariyasida qo'llaniladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari Jadvalda keltirilgan. 1.
72, Matematik kutish mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining (o'rtacha qiymati). 
, ifodalaydi aniq integral(11-rasm, b)
. (26)
Matematik kutilma integral funktsiyaning to'ldiruvchisi orqali ifodalanishi mumkin. Buning uchun (11) ni (26) ga almashtiramiz va hosil bo'lgan ifodani qismlarga ajratamiz.
, (27)
chunki 
Va 
, Bu
. (28)
Mumkin qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan salbiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun , formula (28) shaklni oladi
. (29)
ya'ni mumkin bo'lgan qiymatlari intervalga tegishli bo'lgan manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi , son jihatdan integral funktsiya to'ldiruvchisi grafigi ostidagi maydonga teng (11-rasm, A).
73, Statistik ma'lumotlarga ko'ra, birinchi muvaffaqiyatsizlikka qadar o'rtacha vaqt formula bilan aniqlanadi
, (30)
birinchi muvaffaqiyatsizlik vaqti qayerda i- ob'ekt; N- sinovdan o'tgan ob'ektlar soni.
O'rtacha resurs, o'rtacha xizmat muddati, o'rtacha tiklanish vaqti va o'rtacha saqlash muddati xuddi shunday aniqlanadi.
74, Tasodifiy o'zgaruvchining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi yordamida baholanadi standart og'ish dispersiyasi(RMS) va o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Uzluksiz tasodifiy X ning dispersiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan kvadrat og'ishning matematik kutilishi bo'lib, formula bo'yicha hisoblanadi.
. (31)
Dispersiya kvadrat tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas.
75, standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchidir kvadrat ildiz dispersiyadan kelib chiqadi va tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega
. (32)
76, o'zgaruvchanlik koeffitsienti tasodifiy miqdor dispersiyasining nisbiy ko'rsatkichi bo'lib, standart og'ishning nisbati sifatida aniqlanadi. matematik kutish
. (33)
77, Gamma - tasodifiy miqdorning foizli qiymati- berilgan ehtimolga mos keladigan tasodifiy miqdorning qiymati 
tasodifiy o'zgaruvchi dan kattaroq qiymat qabul qiladi,
. (34)
78. Gamma - tasodifiy miqdorning foiz qiymatini integral funksiya, uning to'ldiruvchisi va differentsial funktsiyasi bilan aniqlash mumkin (12-rasm). Tasodifiy o'zgaruvchining gamma foizli qiymati ehtimollik kvantidir (12-rasm, A)
. (35)
Ishonchlilik nazariyasidan foydalanadi resursning gamma foizli qiymati, xizmat muddati va saqlash muddati(1-jadval). Gamma foizi - bu manba, xizmat muddati, saqlash muddati, ma'lum turdagi ob'ektlarning foiziga ega (va undan ortiq).
A) b)
12-rasm Tasodifiy kattalikning gamma foizli qiymatini aniqlash
Gamma foizli manba xarakterlaydi chidamlilik tanlangan darajada 
vayron bo'lmaslik ehtimoli. Gamma foizli resurs ob'ektlarning mas'uliyatini hisobga olgan holda tayinlanadi. Masalan, rulmanlar uchun eng muhim ob'ektlarning podshipniklari uchun 90 foiz xizmat muddati ko'pincha ishlatiladi, 95 foiz va undan yuqori xizmat muddati tanlanadi, agar buzilish inson hayoti uchun xavfli bo'lsa, uni 100 foizga yaqinlashtiradi; .
79, Tasodifiy o'zgaruvchining mediani da uning gamma foiz qiymati hisoblanadi 
. Median uchun 
tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimoli teng T undan ko'p yoki kamroq, ya'ni.
Geometrik jihatdan mediana integral taqsimot funksiyasi va uning to‘ldiruvchisining kesishish nuqtasining abssissasidir (12-rasm, b). Medianani differentsial funktsiya ordinatasi taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydonni ikkiga bo'ladigan nuqtaning abssissasi sifatida talqin qilish mumkin (12-rasm, V).
Tasodifiy o'zgaruvchining medianasi ishonchlilik nazariyasida resurs, xizmat muddati va saqlash muddatining raqamli xarakteristikasi sifatida ishlatiladi (1-jadval).
Ob'ektlarning ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasida funktsional bog'liqlik mavjud. Funktsiyalardan birini bilish 
boshqa ishonchlilik ko'rsatkichlarini aniqlash imkonini beradi. Ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasidagi munosabatlarning qisqacha mazmuni Jadvalda keltirilgan. 2.
Jadval 2. Ishonchlilik ko'rsatkichlari o'rtasidagi funktsional bog'liqlik