MATEMATIKA FANIDAN YANGILIK DAVLAT IMTIHNONINING C2 MASALLARI NOKTADAN SOLOLGACHA MASAFNI TOPISH.
Kulikova Anastasiya Yurievna
Matematika fakulteti 5-kurs talabasi. tahlil, algebra va geometriya EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga
Ganeeva Oygul Rifovna
ilmiy rahbar, t.f.n. ped. fanlar, dotsent EI KFU, Rossiya Federatsiyasi, Tatariston Respublikasi, Elabuga
IN Yagona davlat imtihon topshiriqlari matematikada so'nggi yillar nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblashda muammolar paydo bo'ladi. Ushbu maqolada bitta masala misolidan foydalanib, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullari ko'rib chiqiladi. Turli muammolarni hal qilish uchun eng mos usuldan foydalanish mumkin. Bir usul yordamida muammoni hal qilgandan so'ng, siz boshqa usul yordamida natijaning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.
Ta'rif. Nuqtadan bu nuqtani o‘z ichiga olmagan tekislikgacha bo‘lgan masofa shu nuqtadan berilgan tekislikka o‘tkazilgan perpendikulyar segmentning uzunligidir.
Vazifa. To'rtburchaklar parallelepiped berilgan ABBILAND.A. 1 B 1 C 1 D 1 tomonlari bilan AB=2, Miloddan avvalgi=4, A.A. 1 =6. Nuqtadan masofani toping D samolyotga ACD 1 .
1 yo'l. Foydalanish ta'rifi. masofani toping r( D, ACD 1) nuqtadan D samolyotga ACD 1 (1-rasm).
1-rasm. Birinchi usul
Bajaraylik D.H.⊥AC, shuning uchun uchta perpendikulyar teorema bo'yicha D 1 H⊥AC Va (DD 1 H)⊥AC. Bajaraylik bevosita D.T. perpendikulyar D 1 H. Streyt D.T. samolyotda yotadi DD 1 H, shuning uchun D.T.⊥A.C.. Demak, D.T.⊥ACD 1.
ADC gipotenuzani topamiz AC va balandligi D.H.
To'g'ri uchburchakdan D 1 D.H. gipotenuzani topamiz D 1 H va balandligi D.T.
Javob: .
2-usul.Hajmi usuli (yordamchi piramidadan foydalanish). Bunday turdagi masalani piramidaning balandligini hisoblash masalasiga qisqartirish mumkin, bu erda piramidaning balandligi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan talab qilinadigan masofadir. Bu balandlik kerakli masofa ekanligini isbotlang; bu piramidaning hajmini ikki usulda toping va shu balandlikni ifodalang.
E'tibor bering, bu usul bilan berilgan nuqtadan berilgan tekislikka perpendikulyar qurishning hojati yo'q.
Kuboid - barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped.
AB=CD=2, Miloddan avvalgi=AD=4, A.A. 1 =6.
Kerakli masofa balandlik bo'ladi h piramidalar ACD 1 D, yuqoridan tushirildi D asosda ACD 1 (2-rasm).
Piramidaning hajmini hisoblaymiz ACD 1 D ikki usulda.
Hisoblashda birinchi usulda ∆ ni asos qilib olamiz ACD 1 keyin
Ikkinchi usulda hisoblashda ∆ ni asos qilib olamiz ACD, Keyin
Keling, oxirgi ikkita tenglikning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz va olamiz
Shakl 2. Ikkinchi usul
Kimdan to'g'ri uchburchaklar ACD, QO‘SHISH 1 , CDD 1 Pifagor teoremasi yordamida gipotenuzani toping
ACD
Uchburchakning maydonini hisoblang ACD 1 Heron formulasidan foydalangan holda
Javob: .
3 yo'l. Koordinata usuli.
Bir nuqta berilsin M(x 0 ,y 0 ,z 0) va tekislik α , tenglama bilan berilgan bolta+tomonidan+cz+d To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimida =0. Nuqtadan masofa M a tekisligiga quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
Koordinatalar sistemasini kiritamiz (3-rasm). Bir nuqtada koordinatalarning kelib chiqishi IN;
Streyt AB- eksa X, Streyt Quyosh- eksa y, Streyt BB 1 - eksa z.
Rasm 3. Uchinchi usul
B(0,0,0), A(2,0,0), BILAN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Mayli ax+tomonidan+ cz+ d=0 – tekislik tenglamasi ACD 1. Unga nuqtalar koordinatalarini qo'yish A, C, D 1 biz olamiz:
Tekislik tenglamasi ACD 1 shaklni oladi
Javob: .
4 yo'l. Vektor usuli.
Keling, asos bilan tanishtiramiz (4-rasm) , .
4-rasm. To'rtinchi usul
, "Dars uchun taqdimot" tanlovi
Sinf: 11
Dars uchun taqdimot
Orqaga Oldinga
Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.
Maqsadlar:
- talabalarning bilim va ko'nikmalarini umumlashtirish va tizimlashtirish;
- tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirish.
Uskunalar:
- multimedia proyektori;
- kompyuter;
- muammoli matnli varaqlar
SINFNING OLISHI
I. Tashkiliy moment
II. Bilimlarni yangilash bosqichi(2-slayd)
Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa qanday aniqlanganligini takrorlaymiz
III. Ma'ruza(3-15 slaydlar)
Ushbu darsda biz nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani topishning turli usullarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi usul: bosqichma-bosqich hisoblash
M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofa:
– M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan a to‘g‘ri chiziqda yotgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikka masofaga teng;
– b tekislikda yotgan, M nuqtadan o‘tuvchi va a tekislikka parallel bo‘lgan ixtiyoriy P nuqtadan a tekislikgacha bo‘lgan masofaga teng.
Biz quyidagi muammolarni hal qilamiz:
№1. A...D 1 kubida C 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
O 1 N segmentining uzunligi qiymatini hisoblash qoladi.
№2. Barcha qirralari 1 ga teng bo‘lgan A...F 1 muntazam olti burchakli prizmada A nuqtadan DEA 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keyingi usul: hajm usuli.
Agar ABCM piramidasining hajmi V ga teng bo'lsa, M nuqtadan ∆ABC ni o'z ichiga olgan a tekislikgacha bo'lgan masofa r(M; a) = r(M; ABC) = formula bilan hisoblanadi.
Muammolarni yechishda biz ikki xil usulda ifodalangan bir raqamning hajmlari tengligidan foydalanamiz.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№3. DABC piramidasining AD cheti ABC asos tekisligiga perpendikulyar. A dan AB, AC va AD qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tuvchi tekislikgacha bo'lgan masofani toping, agar.
Muammolarni hal qilishda koordinata usuli M nuqtadan a tekislikgacha bo'lgan masofani r(M; a) = formulasi yordamida hisoblash mumkin 
, bu yerda M(x 0; y 0; z 0) va tekislik ax + by + cz + d = 0 tenglama bilan berilgan.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№4. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar sistemasini koordinatalar koordinatasini koordinata sistemasining koordinatasini A nuqtada keltiramiz, y o’qi AB chekkasi bo’ylab, x o’qi AD chekkasi bo’ylab, z o’qi AA 1 cheti bo’ylab o’tadi. U holda B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) nuqtalarning koordinatalari.
B, D, C 1 nuqtalardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz.
U holda – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Demak, r = 
Ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun quyidagi usuldan foydalanish mumkin muammolarni qo'llab-quvvatlash usuli.
Ushbu usulni qo'llash teorema sifatida tuzilgan ma'lum mos yozuvlar muammolaridan foydalanishdan iborat.
Keling, quyidagi muammoni hal qilaylik:
№5. A...D 1 birlik kubida D 1 nuqtadan AB 1 C tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Keling, arizani ko'rib chiqaylik vektor usuli.
№6. A...D 1 birlik kubida A 1 nuqtadan BDC 1 tekislikgacha bo‘lgan masofani toping.
Shunday qilib, biz ushbu turdagi muammolarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan turli usullarni ko'rib chiqdik. Bir yoki boshqa usulni tanlash muayyan vazifaga va sizning afzalliklaringizga bog'liq.
IV. Guruh ishi
Muammoni turli yo'llar bilan hal qilishga harakat qiling.
№1. A...D 1 kubining cheti ga teng. C cho'qqisidan BDC 1 tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
№2. Qirrali ABCD muntazam tetraedrida A nuqtadan BDC tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№3. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan ABCA 1 B 1 C 1 muntazam uchburchak prizmasida A dan BCA 1 tekislikgacha bo'lgan masofani toping.
№4. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchaklar SABCD piramidasida A dan SCD tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
V. Dars xulosasi, uy vazifasi, aks ettirish
Fazoda ma'lum p tekislik va ixtiyoriy M 0 nuqtani ko'rib chiqaylik. Keling, samolyotni tanlaylik normal vektor birligi n bilan boshlanishi bir nuqtada M 1 ∈ p va M 0 nuqtadan p tekislikgacha bo'lgan masofa p(M 0 ,p) bo'lsin. Keyin (5.5-rasm)
r(M 0 ,p) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
beri |n| = 1.
Agar p tekisligi berilgan bo'lsa uning umumiy tenglamasi bilan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi Ax + By + Cz + D = 0, u holda uning normal vektori koordinatali vektor (A; B; C) va biz tanlashimiz mumkin.
(x 0 ; y 0 ; z 0) va (x 1 ; y 1 ; z 1) M 0 va M 1 nuqtalarning koordinatalari bo‘lsin. U holda Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 tengligi o'rinli bo'ladi, chunki M 1 nuqta tekislikka tegishli bo'lib, M 1 M 0 vektorining koordinatalarini topish mumkin: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 ; Yozib olish nuqta mahsuloti nM 1 M 0 koordinata shaklida va o'zgartirganda (5.8), biz olamiz
chunki Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Demak, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun nuqta koordinatalarini quyidagiga almashtirish kerak. umumiy tenglama tekislik, so'ngra natijaning mutlaq qiymatini mos keladigan normal vektor uzunligiga teng bo'lgan normallashtiruvchi omilga bo'linadi.