Algebraik shaklda yozilgan kompleks sonlar ustida amallar

Kompleks sonning algebraik shakli z =(a,b).shaklning algebraik ifodasi deyiladi

z = a + bi.

Kompleks sonlar ustidagi arifmetik amallar z 1 = a 1 + b 1 i Va z 2 = a 2 + b 2 i, algebraik shaklda yozilgan, quyidagicha amalga oshiriladi.

1. Kompleks sonlar yig‘indisi (farqi).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

bular. qo'shish (ayirish) o'xshash hadlarni qisqartirish bilan ko'phadlarni qo'shish qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi.

2. Kompleks sonlar hosilasi

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

bular. ko'paytirish ko'phadlarni ko'paytirishning odatiy qoidasiga muvofiq amalga oshiriladi, bu haqiqatni hisobga olgan holda. i 2 = 1.

3. Ikki kompleks sonni bo‘lish quyidagi qoida bo‘yicha amalga oshiriladi:

, (z 2 ≠ 0),

bular. bo'lish dividend va bo'luvchini bo'luvchining konjugat raqamiga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi.

Kompleks sonlarni darajaga ko'tarish quyidagicha aniqlanadi:

Buni ko'rsatish oson

Misollar.

1. Kompleks sonlar yig‘indisini toping z 1 = 2 – i Va z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Kompleks sonlar ko‘paytmasini toping z 1 = 2 – 3i Va z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Ko‘rsatkichni toping z bo'linishdan z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Tenglamani yeching: , x Va y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleks sonlarning tengligi tufayli bizda:

qayerda x =–1 , y= 4.

5. Hisoblang: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Agar ni hisoblang.

.

7. Raqamni hisoblang sonning o'zaro z=3-i.

Trigonometrik shakldagi murakkab sonlar

Murakkab samolyot Dekart koordinatalari bo'lgan tekislik deb ataladi ( x, y), agar har bir nuqta koordinatali ( a, b) kompleks son bilan bog‘langan z = a + bi. Bunday holda, abscissa o'qi deyiladi haqiqiy o'q, ordinata o'qi esa xayoliy. Keyin har bir murakkab raqam a+bi nuqta sifatida tekislikda geometrik tasvirlangan A (a, b) yoki vektor.

Shuning uchun nuqtaning pozitsiyasi A(va shuning uchun murakkab son z) vektor uzunligi bilan belgilanishi mumkin | | = r va burchak j, vektor | tomonidan hosil qilingan | haqiqiy o'qning ijobiy yo'nalishi bilan. Vektorning uzunligi deyiladi kompleks sonning moduli va | bilan belgilanadi z |=r, va burchak j chaqirdi murakkab son argumenti va belgilanadi j = arg z.

Bu aniq | z| ³ 0 va | z | = 0 Û z = 0.

Rasmdan. 2 bu aniq.

Kompleks sonning argumenti noaniq, ammo 2 aniqligi bilan aniqlanadi pk, kÎ Z.

Rasmdan. 2 bo'lsa ham aniq z=a+bi Va j=arg z, Bu

cos j =, gunoh j =, tg j =.

Agar zÎR Va z> 0, keyin arg z = 0 +2pk;

Agar z OR Va z< 0, keyin arg z = p + 2pk;

Agar z = 0,arg z aniqlanmagan.

Argumentning asosiy qiymati 0 oralig'ida aniqlanadi £ arg z£ 2 p,

yoki -p£ arg z £ p.

Misollar:

1. Kompleks sonlarning modulini toping z 1 = 4 – 3i Va z 2 = –2–2i.

2. Shartlar bilan aniqlangan kompleks tekislikdagi maydonlarni aniqlang:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+i) | £ 3; 4) £6 | z – i| £7.

Yechimlar va javoblar:

1) | z| = 5 Û Û - radiusi 5 va markazi koordinatali aylana tenglamasi.

2) Radiusi 6 bo’lgan aylana, markazi koordinatali.

3) Radiusi 3 bo'lgan doira markazi nuqtada z 0 = 2 + i.

4) Radiuslari 6 va 7 ga teng, markazi nuqtada bo‘lgan doiralar bilan chegaralangan halqa z 0 = i.

3. Sonlarning moduli va argumentini toping: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Maslahat: Asosiy argumentni aniqlashda murakkab tekislikdan foydalaning.

Shunday qilib: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

Ma'ruza

Kompleks sonning trigonometrik shakli

Reja

1. Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

2. Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

3. Trigonometrik shaklda kompleks sonlar ustida amallar.

Kompleks sonlarning geometrik tasviri.

a) Murakkab sonlar quyidagi qoidaga muvofiq tekislikdagi nuqtalar bilan ifodalanadi: a + bi = M ( a ; b ) (1-rasm).

1-rasm

b) Kompleks son nuqtadan boshlanadigan vektor bilan ifodalanishi mumkinHAQIDA va oxiri ma'lum bir nuqtada (2-rasm).

2-rasm

7-misol. Kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalarni tuzing:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3-rasm).

3-rasm

Kompleks sonlarning trigonometrik belgilanishi.

Kompleks raqamz = a + bi radius vektor yordamida aniqlanishi mumkin koordinatalari bilan( a ; b ) (4-rasm).

4-rasm

Ta'rif . Vektor uzunligi , kompleks sonni ifodalaydiz , bu sonning moduli deb ataladi va belgilanadi yokir .

Har qanday murakkab son uchunz uning modulir = | z | formula bilan yagona aniqlanadi .

Ta'rif . Haqiqiy o'qning musbat yo'nalishi va vektor orasidagi burchakning kattaligi , kompleks sonni ifodalovchi, bu kompleks sonning argumenti deyiladi va belgilanadiA rg z yokiφ .

Kompleks son argumentiz = 0 aniqlanmagan. Kompleks son argumentiz≠ 0 - ko'p qiymatli miqdor va muddat ichida aniqlanadi2k (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2k , Qayerdaarg z – intervalda joylashgan argumentning asosiy qiymati(-π; π] , ya'ni-π < arg z ≤ π (ba'zan argumentning asosiy qiymati sifatida intervalga tegishli qiymat olinadi .

Bu formula qachonr =1 Ko'pincha Moivre formulasi deb ataladi:

(cos ph + i sin ph) n = cos (nph) + i sin (nph), n  N .

11-misol: Hisoblang(1 + i ) 100 .

Kompleks sonni yozamiz1 + i trigonometrik shaklda.

a = 1, b = 1 .

cos ph = , sin ph = , φ = .

(1+i) 100 = [ (chunki + gunoh qilaman )] 100 = ( ) 100 (chunki 100+ gunoh qilaman ·100) = = 2 50 (cos 25p + i sin 25p) = 2 50 (cos p + i sin p) = - 2 50 .

4) Ekstraksiya kvadrat ildiz murakkab sondan.

Kompleks sonning kvadrat ildizini olishdaa + bi bizda ikkita holat bor:

Agarb >o , Bu ;

KOMPLEKS RAQAMLAR XI

§ 256. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Kompleks son bo'lsin a + bi vektorga mos keladi O.A.> koordinatalari bilan ( a, b ) (332-rasmga qarang).

Bu vektorning uzunligini quyidagicha belgilaymiz r , va uning o'q bilan qilgan burchagi X , orqali φ . Sinus va kosinusning ta'rifi bo'yicha:

a / r =cos φ , b / r = gunoh φ .

Shunung uchun A = r cos φ , b = r gunoh φ . Ammo bu holda kompleks son a + bi quyidagicha yozilishi mumkin:

a + bi = r cos φ + ir gunoh φ = r (chunki φ + i gunoh φ ).

Ma'lumki, har qanday vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yig'indisiga teng. Shunung uchun r 2 = a 2 + b 2, qayerdan r = √a 2 + b 2

Shunday qilib, har qanday murakkab son a + bi shaklida ifodalanishi mumkin :

a + bi = r (chunki φ + i gunoh φ ), (1)

qayerda r = √a 2 + b 2 va burchak φ sharti asosida aniqlanadi:

Kompleks sonlarni yozishning bunday shakli deyiladi trigonometrik.

Raqam r formulada (1) deyiladi modul, va burchak φ - argument, kompleks son a + bi .

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng emas, u holda uning moduli musbat; agar a + bi = 0, keyin a = b = 0 va keyin r = 0.

Har qanday kompleks sonning moduli yagona aniqlanadi.

Agar murakkab raqam bo'lsa a + bi nolga teng bo'lmasa, uning argumenti (2) formulalar bilan aniqlanadi. albatta 2 ga bo'linadigan burchakka qadar π . Agar a + bi = 0, keyin a = b = 0. Bu holda r = 0. (1) formuladan buni argument sifatida tushunish oson φ bu holda siz har qanday burchakni tanlashingiz mumkin: har qanday uchun φ

0 (cos φ + i gunoh φ ) = 0.

Shuning uchun null argument aniqlanmagan.

Kompleks sonning moduli r ba'zan | bilan belgilanadi z |, va argument arg z . Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalashning bir necha misollarini ko‘rib chiqamiz.

Misol. 1. 1 + i .

Keling, modulni topamiz r va argument φ bu raqam.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Shuning uchun gunoh φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, qaerdan φ = π / 4 + 2nπ .

Shunday qilib,

1 + i = √ 2 ,

Qayerda n - har qanday butun son. Odatda, murakkab son argumentining cheksiz qiymatlari to'plamidan 0 dan 2 gacha bo'lganini tanlang. π . Bunday holda, bu qiymat π / 4. Shunung uchun

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i gunoh π / 4)

2-misol. Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing √ 3 - i . Bizda ... bor:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, gunoh φ = - 1 / 2

Shuning uchun, 2 ga bo'linadigan burchakka qadar π , φ = 11 / 6 π ; shuning uchun,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i gunoh 11/6 π ).

3-misol Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing i.

Kompleks raqam i vektorga mos keladi O.A.> , o'qning A nuqtasida tugaydi da ordinatasi 1 bilan (333-rasm). Bunday vektorning uzunligi 1 ga, uning x o'qi bilan qilgan burchagi esa teng π / 2. Shunung uchun

i =cos π / 2 + i gunoh π / 2 .

4-misol. Kompleks 3 raqamini trigonometrik shaklda yozing.

Kompleks 3 raqami vektorga mos keladi O.A. > X abscissa 3 (334-rasm).

Bunday vektorning uzunligi 3 ga, x o'qi bilan qilgan burchagi esa 0 ga teng

3 = 3 (cos 0 + i gunoh 0),

5-misol.-5 kompleks sonini trigonometrik shaklda yozing.

-5 kompleks soni vektorga mos keladi O.A.> eksa nuqtasida tugaydi X abscissa bilan -5 (335-rasm). Bunday vektorning uzunligi 5 ga, x o'qi bilan hosil qiladigan burchakka teng π . Shunung uchun

5 = 5 (kos π + i gunoh π ).

Mashqlar

2047. Ushbu kompleks sonlarni modul va argumentlarini aniqlagan holda trigonometrik shaklda yozing:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Tekislikda modullari r va argumentlari ph shartlarni qanoatlantiradigan kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar to‘plamini ko‘rsating:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Sonlar bir vaqtda kompleks sonning moduli bo‘la oladimi? r Va - r ?

2050. Kompleks sonning argumenti bir vaqtning o'zida burchak bo'lishi mumkinmi? φ Va - φ ?

Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda keltiring, ularning modullari va argumentlarini aniqlang:

2051*. 1 + chunki α + i gunoh α . 2054*. 2(20° - i gunoh 20°).

2052*. gunoh φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i gunoh 15°).

Tekislikdagi nuqtaning o'rnini aniqlash uchun siz qutb koordinatalaridan foydalanishingiz mumkin [g, (r), Qayerda G- nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan masofasi va (p- radiusni hosil qiluvchi burchak - eksa musbat yo'nalishi bilan bu nuqtaning vektori Oh. Burchak o'zgarishining ijobiy yo'nalishi (p Ko'rib chiqilgan yo'nalish soat miliga teskari. Dekart va qutb koordinatalari o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib: x = g cos avg,y = g sin (s,

kompleks sonni yozishning trigonometrik shaklini olamiz

z - r(sin (p + i gunoh

Qayerda G

Xi + y2, (p - murakkab sonning argumenti, dan topilgan

l X . y y

formulalar chunki (p --, sin^9  = - yoki shu sababli tg(p --, (p-arctg

E'tibor bering, qiymatlarni tanlashda Chorshanba oxirgi tenglamadan belgilarni hisobga olish kerak x va y.

47-misol. Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing 2 = -1 + l/Z / .

Yechim. Kompleks sonning moduli va argumentini topamiz:

= yj 1 + 3 = 2 . Burchak Chorshanba munosabatlaridan bilib olamiz chunki (p = -, gunoh (p = - . Keyin

olamiz cos (p = -, suup

u/z g~

• - -. Shubhasiz, z = -1 + V3-/ nuqtasi joylashgan
• 2 Kimga 3

ikkinchi chorakda: (p= 120°

O'rnini bosish

2 k.. cos - h; gunoh

formulaga (1) 27G L topildi

Izoh. Murakkab sonning argumenti yagona aniqlangan emas, balki ko'paytmali atama ichida 2p. Keyin orqali sp^g bildirmoq

argument qiymati ichiga kiritilgan (p 0 %2 Keyin

A)^r = + 2kk.

Mashhur Eyler formulasidan foydalanish e, biz kompleks sonni yozishning eksponensial shaklini olamiz.

Bizda ... bor r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Kompleks sonlar ustida amallar

• 1. Ikki kompleks sonlar yig‘indisi r, = X] + y x/ va g 2 - x 2 +y 2 / formula r bo'yicha aniqlanadi! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Kompleks sonlarni ayirish amali qo‘shishga teskari amal sifatida aniqlanadi. Kompleks raqam g = g x - g 2, Agar g 2 + g = g x,

kompleks sonlar ayirmasi 2, va g 2. Keyin r = (x, - x 2) + (y, - da 2) /.

• 3. Ikki kompleks sonning ko‘paytmasi g x= x, +y, -z va 2 2 = x 2+ U2‘ r formula bilan aniqlanadi
• *1*2 =(* +U"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + U1 U2 " ^ =

= (xx 2 ~UU 2)+(X U2 + X 2U)-"-

Ayniqsa, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Eksponensial va trigonometrik shakllarda kompleks sonlarni ko'paytirish formulalarini olishingiz mumkin. Bizda ... bor:

• 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + avg 2) + isin
• 4. Kompleks sonlarni bo‘lish teskari amal sifatida aniqlanadi

ko'paytirish, ya'ni. raqam G-- r bo'linish qismi deb ataladi! g 2 da,

Agar g x -1 2 ? 2 . Keyin

X + Ti _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + II2 (2 + ^U 2)( 2 ~ 1 U 2)

x,x 2 + /y,x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOí̈((R -sr 1)+ I- (p-,)] >2 >2
• 5. Kompleks sonni musbat butun son darajasiga ko'tarish, agar son ko'rsatkichli yoki trigonometrik shakllarda yozilsa, eng yaxshisidir.

Haqiqatan ham, agar g = ge 1 keyin

=(ge,) = g p e t = G"(co8 psr+it gkr).

Formula g" =r n (cosn(p+is n(p)) Moivr formulasi deb ataladi.

6. Ildizni ajratib olish p- Kompleks sonning th darajasi bir darajaga ko'tarishning teskari amali sifatida aniqlanadi p, p- 1,2,3,... ya'ni. kompleks son = y[g ildiz deb ataladi p- kompleks sonning th darajasi

g, agar G = g x. Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki g - g", A g x= l/g. (r-psr x, A sr^-sr/n, Moivrening = r/*+ raqami uchun yozilgan formulasidan kelib chiqadi íipp(r).

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, kompleks sonning argumenti yagona aniqlangan emas, balki 2 ga karrali bo'lgan atamagacha. va. Shunung uchun = (p + 2pk, va r sonining argumenti, ga qarab Kimga, belgilaylik (r k va boo

formuladan foydalanib hisoblang (r k= - + . borligi aniq n com-

murakkab raqamlar, n-chi darajasi 2 soniga teng. Bu raqamlar bittaga ega

va bir xil modul teng y[g, va bu sonlarning argumentlari bilan olinadi Kimga = 0, 1, p - 1. Shunday qilib, trigonometrik shaklda ildiz i-chi darajalar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

(p + 2kp . . Chorshanba + 2kp

, Kimga = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

va eksponensial shaklda - formula bo'yicha l[g - y[ge p

48-misol. Kompleks sonlar ustida amallarni algebraik shaklda bajaring:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 l/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 +l/2)-(5 +Zl/2)/;

49-misol. r = Uz - / sonini beshinchi darajaga ko'taring.

Yechim. Biz r sonini yozishning trigonometrik shaklini olamiz.

G = l/3 + 1 =2, C08 (p --, 5II7 (p =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’z+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Bu yerdan O--, A r = 2

Biz Moivreni olamiz: i -2

/ ^ _ 7G, . ?G

• -SS-- IBIP -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2 .

50-misol: Barcha qiymatlarni toping

Yechim, r = 2, a Chorshanba tenglamadan topamiz sob(p = -,zt--.

Bu nuqta 1 - / d / z to'rtinchi chorakda joylashgan, ya'ni. f =--. Keyin

• 1 - 2
• ( ( UG L

Biz ifodadan ildiz qiymatlarini topamiz

V1 - /l/z = l/2

• --+ 2A:/g ---l 2 kk
• 3 . . 3

S08--1- va 81P-

At Kimga - 0 bizda 2 0 = l / 2

Displeydagi raqamni ifodalash orqali 2 raqamining ildizi qiymatlarini topishingiz mumkin

-* TO/ 3 + 2 cl

At Kimga= 1 bizda yana bir ildiz qiymati bor:

• 7G. 7G_
• ---27g ---l2;g
• 3. . h

7G . . 7G L-S05- + 181P - 6 6

• --N-

co? - 7G + /5SH - I"

l/3__t_

telial shakl. Chunki r= 2, a Chorshanba= , keyin g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

Vektor kompleks tekislikda raqam bilan aniqlansin.

Musbat yarim o'q Ox va vektor orasidagi burchakni ph bilan belgilaymiz (agar ph burchagi soat miliga teskari yo'nalishda o'lchansa musbat, aks holda manfiy hisoblanadi).

Vektor uzunligini r bilan belgilaymiz. Keyin. Biz ham belgilaymiz

Nolga teng bo'lmagan z kompleks sonini ko'rinishda yozish

z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi. r soni z kompleks sonining moduli, ph soni esa bu kompleks sonning argumenti deyiladi va Arg z bilan belgilanadi.

Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli - (Eyler formulasi) - kompleks sonni yozishning eksponensial shakli:

Kompleks z soni cheksiz ko'p argumentlarga ega: agar ph0 z sonining har qanday argumenti bo'lsa, qolgan barcha raqamlarni formuladan foydalanib topish mumkin.

Kompleks son uchun argument va trigonometrik shakl aniqlanmagan.

Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan kompleks sonning argumenti tenglamalar tizimining har qanday yechimidir:

(3)

Kompleks z argumentining tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ph qiymati asosiy qiymat deyiladi va arg z bilan belgilanadi.

Arg z va arg z argumentlari bilan bog'langan

, (4)

Formula (5) (3) sistemaning natijasidir, shuning uchun kompleks sonning barcha argumentlari tenglikni (5) qondiradi, lekin (5) tenglamaning barcha ph yechimlari z sonining argumentlari emas.

Nolga teng bo'lmagan kompleks son argumentining asosiy qiymati formulalar bo'yicha topiladi:

Trigonometrik shaklda kompleks sonlarni ko'paytirish va bo'lish formulalari quyidagicha:

. (7)

Kompleks sonni tabiiy darajaga ko'tarishda Moivre formulasi qo'llaniladi:

Murakkab sonning ildizini olishda quyidagi formuladan foydalaniladi:

, (9)

bu yerda k=0, 1, 2, …, n-1.

Masala 54. Qaerda ni hisoblang.

Kompleks sonni yozishning eksponensial shaklida bu ifodaning yechimini keltiramiz: .

Agar, keyin.

Keyin, . Shuning uchun, keyin Va , Qayerda.

Javob: , da.

Masala 55. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda yozing:

A) ; b) ; V); G) ; d) ; e) ; va).

Kompleks sonning trigonometrik ko'rinishi bo'lganligi sababli, u holda:

a) Kompleks sonda: .

,

Shunung uchun

b) , qayerda ,

G) , qayerda ,

e) .

va) , A , Bu.

Shunung uchun

Javob: ; 4; ; ; ; ; .

Masala 56. Kompleks sonning trigonometrik shaklini toping

.

Mayli .

Keyin, , .

O'shandan beri va , , keyin, va

Shuning uchun, , shuning uchun

Javob: , Qayerda.

Masala 57. Kompleks sonning trigonometrik shaklidan foydalanib, quyidagi amallarni bajaring: .

Keling, raqamlarni tasavvur qilaylik va trigonometrik shaklda.

1) , qayerda Keyin

Asosiy argumentning qiymatini toping:

Keling, qiymatlarni va ifodaga almashtiramiz, biz olamiz

2) , unda qayerda

Keyin

3) Keling, qismni topamiz

k=0, 1, 2 deb faraz qilsak, kerakli ildizning uch xil qiymatini olamiz:

Agar , keyin

agar , keyin

agar , keyin .

Javob: :

:

: .

Masala 58. , , , har xil kompleks sonlar va bolsin . Buni isbotlang

a) raqam haqiqiy ijobiy raqam;

b) tenglik amal qiladi:

a) Ushbu kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalaylik:

Chunki .

Faraz qilaylik. Keyin

.

Oxirgi ifoda musbat sondir, chunki sinus belgilarida intervaldan raqamlar mavjud.

raqamdan beri haqiqiy va ijobiy. Haqiqatan ham, agar a va b murakkab sonlar bo'lsa va haqiqiy va noldan katta bo'lsa, u holda .

Bundan tashqari,

shuning uchun kerakli tenglik isbotlangan.

Masala 59. Sonni algebraik shaklda yozing .

Sonni trigonometrik shaklda ifodalaymiz va keyin uning algebraik shaklini topamiz. Bizda ... bor . uchun biz tizimni olamiz:

Bu tenglikni anglatadi: .

Moivre formulasini qo'llash: ,

olamiz

Berilgan sonning trigonometrik shakli topiladi.

Keling, bu raqamni algebraik shaklda yozamiz:

.

Javob: .

Masala 60. , , yig‘indisini toping.

Keling, miqdorni ko'rib chiqaylik

Moivre formulasini qo'llagan holda topamiz

Bu yig‘indi maxrajli geometrik progressiyaning n ta hadining yig‘indisidir va birinchi a'zo .

Bunday progressiyaning shartlari yig'indisi uchun formulani qo'llash, biz bor

Oxirgi ifodada xayoliy qismni ajratib, biz topamiz

Haqiqiy qismni ajratib, biz quyidagi formulani ham olamiz: , , .

Masala 61. Yig‘indini toping:

A) ; b) .

Nyutonning ko'rsatkichlar formulasiga ko'ra, biz bor

Moivre formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Olingan iboralarning haqiqiy va xayoliy qismlarini tenglashtirib, bizda:

Va .

Bu formulalarni ixcham shaklda quyidagicha yozish mumkin:

,

, bu yerda a sonining butun qismi.

Muammo 62. Hammasini toping, buning uchun.

beri , keyin formuladan foydalaning

, Ildizlarni olish uchun biz olamiz ,

Demak, , ,

, .

Raqamlarga mos keladigan nuqtalar markazi (0;0) nuqtada bo'lgan radiusi 2 bo'lgan doira ichiga chizilgan kvadratning uchlarida joylashgan (30-rasm).

Javob: , ,

, .

Masala 63. Tenglamani yeching , .

Shart bo'yicha; shuning uchun bu tenglama ildizga ega emas va shuning uchun u tenglamaga ekvivalentdir.

z soni berilgan tenglamaning ildizi bo'lishi uchun raqam ildiz bo'lishi kerak n-daraja 1 raqamidan.

Bu erdan biz dastlabki tenglamaning tengliklardan aniqlangan ildizlari bor degan xulosaga kelamiz

,

Shunday qilib,

,

ya'ni ,

Javob: .

Masala 64. Kompleks sonlar to‘plamidagi tenglamani yeching.

Raqam bu tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, bu tenglama uchun tenglamaga ekvivalentdir.

Ya'ni, tenglama.

Ushbu tenglamaning barcha ildizlari formuladan olinadi (62-masalaga qarang):

; ; ; ; .

Masala 65. Kompleks tekislikda tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini chizing: . (45- muammoni hal qilishning ikkinchi usuli)

Mayli .

Bir xil modullarga ega bo'lgan murakkab sonlar, boshning markazida joylashgan aylanada yotgan tekislikdagi nuqtalarga to'g'ri keladi, shuning uchun tengsizlik boshi va radiuslari umumiy markazga ega aylanalar bilan chegaralangan ochiq halqaning barcha nuqtalarini qanoatlantiring va (31-rasm). Kompleks tekislikning qaysidir nuqtasi w0 soniga mos kelsin. Raqam , moduli w0 modulidan bir necha marta kichikroq va argumenti w0 argumentidan kattaroqdir. Geometrik nuqtai nazardan, w1 ga mos keladigan nuqtani boshlang'ichda markaz va koeffitsientga ega bo'lgan gomotetika yordamida, shuningdek, koordinatali nuqtaga nisbatan soat miliga teskari burchak bilan aylanish yordamida olinishi mumkin. Ushbu ikkita o'zgartirishni halqa nuqtalariga qo'llash natijasida (31-rasm), ikkinchisi bir xil markaz va radiuslari 1 va 2 bo'lgan doiralar bilan chegaralangan halqaga aylanadi (32-rasm).

Konvertatsiya vektorga parallel uzatish yordamida amalga oshiriladi. Markazi bo'lgan halqani ko'rsatilgan vektorga o'tkazib, biz nuqtadagi markaz bilan bir xil o'lchamdagi halqani olamiz (22-rasm).

Samolyotning geometrik o'zgarishlari g'oyasidan foydalanadigan taklif qilingan usul, ehtimol, tasvirlash uchun unchalik qulay emas, lekin juda oqlangan va samarali.

Muammo 66. Agar toping .

Keling, keyin va. Dastlabki tenglik shaklni oladi . Ikkita kompleks sonning tenglik shartidan , , , undan , ni olamiz. Shunday qilib, .

z sonini trigonometrik shaklda yozamiz:

, Qayerda ,. Moivr formulasiga ko'ra, biz topamiz.

Javob: – 64.

Masala 67. Kompleks son uchun , va kabi barcha kompleks sonlarni toping .

Raqamni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:

. Bu yerdan, . Biz olgan raqam uchun yoki ga teng bo'lishi mumkin.

Birinchi holda , ikkinchisida

.

Javob: , .

Masala 68. Shunday sonlar yig‘indisini toping. Iltimos, ushbu raqamlardan birini ko'rsating.

E'tibor bering, masalaning tuzilishidan shuni tushunish mumkinki, tenglamaning ildizlari yig'indisini ildizlarning o'zini hisoblamasdan topish mumkin. Haqiqatan ham, tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun koeffitsient bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan olingan (umumlashtirilgan Vyeta teoremasi), ya'ni.

Talabalar, maktab hujjatlari, ushbu kontseptsiyani o'zlashtirish darajasi to'g'risida xulosa chiqaradilar. Matematik tafakkur xususiyatlari va kompleks son tushunchasini shakllantirish jarayonini o'rganishni umumlashtiring. Usullarning tavsifi. Diagnostika: I bosqich. Suhbat 10-sinfda algebra va geometriya fanlaridan dars beradigan matematika o‘qituvchisi bilan olib borildi. Suhbat boshidan biroz vaqt o'tgandan keyin bo'lib o'tdi...

Rezonans" (!)), bu o'z xatti-harakatlarini baholashni ham o'z ichiga oladi. 4. Vaziyatni tushunishni tanqidiy baholash (shubhalar). 5. Nihoyat, yuridik psixologiya tavsiyalaridan foydalanish (advokat tomonidan hisobga olingan holda). psixologik jihatlar bajarilgan kasbiy harakatlar - kasbiy va psixologik tayyorgarlik). Keling, endi ko'rib chiqaylik psixologik tahlil yuridik faktlar. ...

Trigonometrik almashtirish matematikasi va ishlab chiqilgan o'qitish metodikasi samaradorligini tekshirish. Ish bosqichlari: 1. “Trigonometrik almashtirishni algebraik masalalarni yechishda qo’llash” mavzusi bo’yicha fakultativ kursni o’quvchilar bilan sinflarda ishlab chiqish. chuqur o'rganish matematika. 2. Ishlab chiqilgan tanlov kursini o'tkazish. 3. Diagnostik testni o'tkazish ...

Kognitiv vazifalar faqat mavjud o'quv qo'llanmalarini to'ldirish uchun mo'ljallangan va barcha an'anaviy vositalar va elementlar bilan mos kelishi kerak. ta'lim jarayoni. Gumanitar fanlarni o‘qitishdagi ta’lim muammolarining aniq masalalardan matematik masalalardan farqi shundaki, tarixiy masalalarda formulalar, qat’iy algoritmlar va hokazolar mavjud emas, bu esa ularni yechish jarayonini murakkablashtiradi. ...