Anti hosila va noaniq integral.
f(x) funksiyaning (a; b) oraliqdagi anti hosilasi F(x) funksiya bo‘lib, berilgan oraliqdan istalgan x uchun tenglik bajariladi.
Agar doimiy S ning hosilasi nolga teng ekanligini hisobga olsak, tenglik to'g'ri bo'ladi. 
. Shunday qilib, f(x) funksiya ixtiyoriy doimiy C uchun F(x)+C antiderivativlar to‘plamiga ega va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.
Hammasi tayyor antiderivativ funktsiyalar f(x) bu funksiyaning noaniq integrali deyiladi va belgilanadi 
.
Ifodaga integrand, f(x) esa integrand deyiladi. Integrand f(x) funksiyaning differentsialini ifodalaydi.
Noma'lum funktsiyaning differentsialini hisobga olgan holda topish harakati deyiladi cheksiz integratsiya, chunki integrasiya natijasi bitta F(x) funksiya emas, balki uning F(x)+C ga qarshi hosilalari to‘plamidir.
Jadval integrallari
Integrallarning eng oddiy xossalari
1. Integratsiya natijasining hosilasi integralga teng.
2. Funksiya differentsialining noaniq integrali funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng.
3. Koeffitsientni belgidan chiqarish mumkin noaniq integral.
4. Funksiyalarning yig‘indisi/farqining noaniq integrali yo‘qning yig‘indisi/farqiga teng. aniq integrallar funktsiyalari.
Aniqlik uchun noaniq integralning birinchi va ikkinchi xossalarining oraliq tengliklari keltirilgan.
Uchinchi va toʻrtinchi xossalarni isbotlash uchun tengliklarning oʻng tomonlarining hosilalarini topish kifoya:
Bu hosilalar integrallarga teng bo'lib, bu birinchi xususiyat tufayli dalildir. U oxirgi o'tishlarda ham qo'llaniladi.
Shunday qilib, integratsiya muammosi differensiallash muammosiga teskari masala bo'lib, bu muammolar o'rtasida juda yaqin bog'liqlik mavjud:
Birinchi xususiyat integratsiyani tekshirish imkonini beradi. Amalga oshirilgan integratsiyaning to'g'riligini tekshirish uchun olingan natijaning hosilasini hisoblash kifoya. Agar differentsiallash natijasida olingan funksiya integrandaga teng bo'lib chiqsa, bu integrasiya to'g'ri amalga oshirilganligini bildiradi;
noaniq integralning ikkinchi xossasi funksiyaning ma'lum differensialidan uning anti hosilasini topish imkonini beradi. Noaniq integrallarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash ushbu xususiyatga asoslanadi.
1.4.Integratsiya shakllarining o'zgarmasligi.
Invariant integratsiya - argumentlari guruh elementlari yoki bir jinsli fazo nuqtalari boʻlgan funksiyalar uchun integrasiya turi (bunday fazodagi istalgan nuqta guruhning berilgan harakati bilan boshqasiga oʻtkazilishi mumkin).
f(x) funksiya f.w differensial ko'rinishning integralini hisoblashga qisqartiradi, bu erda
Quyida r(x) ning aniq formulasi keltirilgan. Shartnoma sharti shaklga ega 
.
bu yerda Tg gOG yordamida X da siljish operatorini bildiradi: Tgf(x)=f(g-1x). X=G topologiya bo'lsin, o'z-o'zidan chapga siljishlar bilan ishlaydigan guruh. I. va. G mahalliy darajada ixcham bo'lgan taqdirdagina mavjud bo'ladi (xususan, cheksiz o'lchovli guruhlarda I.I. mavjud emas). I.ning kichik toʻplami uchun va. xarakterli funktsiya cA (A da 1 ga va A tashqari 0 ga teng) chap Xaar o'lchov m (A) ni belgilaydi. Ushbu o'lchovning aniqlovchi xususiyati uning chapga siljishlar ostida o'zgarmasligi: barcha gOG uchun m(g-1A)=m(A). Guruhdagi chap Haar o'lchovi musbat skalyar omilgacha yagona tarzda aniqlanadi. Agar Haar oʻlchovi m maʼlum boʻlsa, I. va. f funksiyasi formula bilan berilgan 
. To'g'ri Haar o'lchovi shunga o'xshash xususiyatlarga ega. G guruhining DG guruhining (ko'paytirish bo'yicha) pozitsiyasiga doimiy gomomorfizm (guruh xususiyatini saqlaydigan xarita) mavjud. buning uchun raqamlar
bu erda dmr va dmi o'ng va chap Haar o'lchovlari. DG(g) funksiyasi chaqiriladi G guruhining moduli. Agar , u holda G guruhi chaqiriladi. bir modulli; bu holda o'ng va chap Haar o'lchovlari mos keladi. Yilni, yarim sodda va nilpotent (xususan, kommutativ) guruhlar unimoduldir. Agar G n o'lchovli Li guruhi bo'lsa va q1,...,qn chap o'zgarmas 1-shakllar fazosida bazis bo'lsa, G dagi chap Haar o'lchovi n-shakl bilan beriladi. Hisoblash uchun mahalliy koordinatalarda
qi ni tashkil qiladi, siz G guruhining har qanday matritsasini amalga oshirishdan foydalanishingiz mumkin: 1-shakl g-1dg matritsasi o'zgarmas va uning koeffitsienti qoladi. chap oʻzgarmas skalyar 1-shakllar boʻlib, ulardan kerakli bazis tanlanadi. Masalan, GL(n, R) to'liq matritsa guruhi unimodulli bo'lib, undagi Haar o'lchovi shakl bilan berilgan. Mayli 
X=G/H - bir jinsli fazo bo'lib, u uchun mahalliy ixcham G guruhi transformatsion guruh, yopiq kichik guruh H esa ma'lum bir nuqtaning stabilizatori hisoblanadi. X da i.i mavjud bo'lishi uchun barcha hOH uchun DG(h)=DH(h) tengligi amal qilishi zarur va yetarli. Xususan, bu H ixcham yoki yarim oddiy bo'lganda to'g'ri keladi. I.ning toʻliq nazariyasi va. cheksiz o'lchovli manifoldlarda mavjud emas.
O'zgaruvchilarni almashtirish.
Bu xossalar integralni elementar integrallardan biriga qisqartirish va keyingi hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi.
1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng:
2. Noaniq integralning differensiali integralga teng:
3. Muayyan funktsiya differensialining noaniq integrali ushbu funktsiya va ixtiyoriy doimiyning yig'indisiga teng:
4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
Bundan tashqari, a ≠ 0
5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:
6. Mulk 4 va 5 xossalarning birikmasidir:
Bundan tashqari, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:
Agar , keyin
8. Mulk:
Agar , keyin
Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Avval 5-xususiyatni, keyin 4-xususiyatni qo'lladik, so'ngra antiderivativlar jadvalidan foydalandik va natijaga erishdik.
Onlayn integral kalkulyatorimiz algoritmi yuqorida sanab o'tilgan barcha xususiyatlarni qo'llab-quvvatlaydi va osongina topish mumkin. batafsil yechim integralingiz uchun.
Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, lekin ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?
Agar integral uchun siz biladigan yagona narsa bu integral piktogramma shaklidagi ilgak yordamida erishish qiyin joylardan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Matematikada eng oddiy va boshqa integrallarni qanday yechish mumkinligini va nima uchun usiz bajara olmasligingizni bilib oling.
Biz kontseptsiyani o'rganamiz « integral »
Integratsiya ilgari ma'lum bo'lgan Qadimgi Misr. Albatta kirmaydi zamonaviy shakl, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar bu mavzuda ko'plab kitoblar yozdilar. Ayniqsa, o'zlarini ajralib turishdi Nyuton Va Leybnits , lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.
Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun sizga hali ham matematik tahlil asoslari bo'yicha asosiy bilim kerak bo'ladi. Bizning blogimizda integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan chegaralar va hosilalar haqida allaqachon ma'lumotlar mavjud.
Noaniq integral
Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'lamiz f(x) .
Noaniq integral funksiya f(x) bu funksiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .
Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, derivativlarni qanday hisoblash haqida bizning maqolamizni o'qing.
Barcha uzluksiz funksiyalar uchun antiderivativ mavjud. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.
Oddiy misol:
Doimiy ravishda antiderivativlarni hisoblamaslik uchun elementar funktsiyalar, ularni jadvalda umumlashtirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.
Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali
Aniq integral
Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral figuraning maydonini, bir xil bo'lmagan jismning massasini, notekis harakat paytida bosib o'tgan masofani va boshqa ko'p narsalarni hisoblashda yordam beradi. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz ko'p sonli cheksiz kichik hadlar yig'indisidir.
Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling.
Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin? Integraldan foydalanish! Funktsiyaning koordinata o'qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik segmentlarga ajratamiz. Shu tarzda raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichikroq va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunligi nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga to'g'ri keladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yozilgan:
a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.
« Integral »
Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud har qanday ish turi
Dumilar uchun integrallarni hisoblash qoidalari
Noaniq integralning xossalari
Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.
- Integralning hosilasi integralga teng:
- Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:
- Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Bu farq uchun ham amal qiladi:
Aniq integralning xossalari
- Lineerlik:
- Agar integratsiya chegaralari almashtirilsa, integral belgisi o'zgaradi:
- At har qanday ball a, b Va Bilan:
Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Ammo misolni echishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:
Integrallarni yechishga misollar
Quyida noaniq integral va yechimli misollarni ko'rib chiqamiz. Yechimning nozik tomonlarini o'zingiz aniqlashni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savollar bering.
Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda echilishi haqida videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Aloqa professional xizmat talabalar uchun va yopiq sirt ustidagi har qanday uch yoki egri chiziqli integrallar sizning imkoniyatlaringiz doirasida bo'ladi.
Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda aniqlanadi. a, b ], a < b. Keling, quyidagi operatsiyalarni bajaramiz:
1) bo'linamiz [ a, b] nuqta a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b yoqilgan n qisman segmentlar [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) qisman segmentlarning har birida [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, ixtiyoriy nuqtani tanlang va ushbu nuqtadagi funktsiyaning qiymatini hisoblang: f(z i ) ;
3) asarlarni toping f(z i ) · Δ x i , bu erda qisman segmentning uzunligi [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;
4) yarashamiz integral yig'indisi funktsiyalari y = f(x) segmentida [ a, b ]:
Geometrik nuqtai nazardan, bu yig'indi s - asoslari qisman segmentlar bo'lgan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] va balandliklar teng f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) mos ravishda (1-rasm). bilan belgilaymiz λ eng uzun qisman segment uzunligi:
5) qachon integral yig‘indining chegarasini toping λ → 0.
Ta'rif. Agar integral yig'indining (1) chekli chegarasi bo'lsa va u segmentni bo'lish usuliga bog'liq bo'lmasa [ a, b] qisman segmentlarga, na nuqta tanlashdan z i ularda, keyin bu chegara deyiladi aniq integral funktsiyasidan y = f(x) segmentida [ a, b] va belgilanadi
Shunday qilib,
Bu holda funksiya f(x) deyiladi integrallanadigan kuni [ a, b]. Raqamlar a Va b mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari deb ataladi, f(x) – integral funksiya, f(x ) dx- integral ifoda, x– integratsiya o‘zgaruvchisi; segment [ a, b] integrallash intervali deyiladi.
Teorema 1. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] bo'lsa, u bu oraliqda integrallanadi.
Integrallash chegaralari bir xil bo'lgan aniq integral nolga teng:
Agar a > b, keyin, ta'rifga ko'ra, biz taxmin qilamiz
2. Aniq integralning geometrik ma’nosi
Segmentga ruxsat bering [ a, b] uzluksiz manfiy bo'lmagan funksiya ko'rsatilgan y = f(x ) . Egri chiziqli trapezoid yuqorida funktsiya grafigi bilan chegaralangan raqam y = f(x), pastdan - Ox o'qi bo'ylab, chapga va o'ngga - to'g'ri chiziqlar x = a Va x = b(2-rasm).
ning aniq integrali manfiy bo'lmagan funktsiya y = f(x) geometrik nuqtai nazardan maydonga teng kavisli trapezoid, yuqorida funksiya grafigi bilan chegaralangan y = f(x), chap va o'ng - chiziq segmentlari x = a Va x = b, pastdan - Ox o'qining segmenti.
3. Aniq integralning asosiy xossalari
1. Aniq integralning qiymati integratsiya o'zgaruvchisining belgilanishiga bog'liq emas:
2. Aniq integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:
3. Ikki funktsiyaning algebraik yig‘indisining aniq integrali bu funksiyalarning aniq integralining algebraik yig‘indisiga teng:
4.Agar funksiyasi y = f(x) [ da integrallanishi mumkin a, b] Va a < b < c, Bu
5. (o'rtacha qiymat teoremasi). Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b], keyin bu segmentda shunday nuqta bor
4. Nyuton-Leybnits formulasi
Teorema 2. Agar funktsiya y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] Va F(x) ushbu segmentdagi har qanday antiderivativ bo'lsa, quyidagi formula to'g'ri keladi:
qaysi deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi. Farq F(b) - F(a) odatda quyidagicha yoziladi:
bu erda belgi qo'sh joker belgi deb ataladi.
Shunday qilib, formula (2) quyidagicha yozilishi mumkin:
1-misol. Integralni hisoblang
Yechim. Integral uchun f(x ) = x 2 ixtiyoriy antiderivativ shaklga ega
Nyuton-Leybnits formulasida har qanday antiderivativdan foydalanish mumkinligi sababli, integralni hisoblash uchun biz eng oddiy shaklga ega bo'lgan antiderivativni olamiz:
5. Aniq integralda o‘zgaruvchining o‘zgarishi
Teorema 3. Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b]. Agar:
1) funktsiya x = φ ( t) va uning hosilasi ph "( t) uchun uzluksiz;
2) funksiya qiymatlari to‘plami x = φ ( t) uchun bu segment [ a, b ];
3) ph ( a) = a, φ ( b) = b, keyin formula haqiqiy hisoblanadi
qaysi deyiladi Aniq integraldagi o'zgaruvchini o'zgartirish formulasi .
Bu holda noaniq integraldan farqli o'laroq kerak emas asl integratsiya o'zgaruvchisiga qaytish uchun - a va b integratsiyaning yangi chegaralarini topish kifoya (buning uchun siz o'zgaruvchini hal qilishingiz kerak. t tenglamalar ph ( t) = a va ph ( t) = b).
O'zgartirish o'rniga x = φ ( t) almashtirishdan foydalanishingiz mumkin t = g(x). Bunday holda, o'zgaruvchi bo'yicha integratsiyaning yangi chegaralarini topish t soddalashtiradi: a = g(a) , β = g(b) .
2-misol. Integralni hisoblang
Yechim. Formuladan foydalanib yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz 1 + ni olamiz x = t 2 , qayerda x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Biz integratsiyaning yangi chegaralarini topamiz. Buning uchun eski chegaralarni formulaga almashtiramiz x = 3 va x = 8. Biz olamiz: , qaerdan t= 2 va a = 2; , qayerda t= 3 va b = 3. Demak,
3-misol. Hisoblash
Yechim. Mayli u= jurnal x, Keyin, v = x. Formula bo'yicha (4)