Ta'rif 2
1-ta'rif shartini qanoatlantiradigan ko'pburchak aylana bo'ylab chegaralangan deyiladi.
1-rasm. Chizilgan doira
1-teorema (uchburchak ichiga chizilgan aylana haqida)
Teorema 1
Siz har qanday uchburchakka aylana yozishingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Unda $O$ nuqtada kesishuvchi bissektrisalarni chizamiz va undan uchburchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni chizamiz (2-rasm).
2-rasm. 1-teoremaning tasviri
Mavjudlik: Markazi $O$ nuqtada va radiusi $OK boʻlgan aylana chizamiz.\ $$O$ nuqta uchta bissektrisada joylashgani uchun u $ABC$ uchburchak tomonlaridan teng masofada joylashgan. Ya'ni $OM=OK=OL$. Demak, tuzilgan aylana $M\ va\ L$ nuqtalaridan ham o'tadi. $OM,OK\ va\OL$ uchburchak tomonlariga perpendikulyar boʻlganligi sababli, aylana tangens teoremasi boʻyicha tuzilgan aylana uchburchakning barcha uch tomoniga tegadi. Shuning uchun, uchburchakning o'zboshimchaligi tufayli, har qanday uchburchakda aylana chizilishi mumkin.
O'ziga xoslik: Faraz qilaylik, $ABC$ uchburchakka markazi $O"$ nuqtada bo'lgan boshqa aylana chizilgan bo'lishi mumkin. Uning markazi uchburchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun $O$ nuqtasiga to'g'ri keladi va radiusga teng. uzunligi $OK$ Ammo keyin bu doira birinchisiga to'g'ri keladi.
Teorema isbotlangan.
Xulosa 1: Uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazi uning bissektrisalarining kesishgan nuqtasida yotadi.
Yozilgan doira tushunchasi bilan bog'liq yana bir nechta faktlar:
Har bir to'rtburchak aylanaga sig'maydi.
Har qanday chegaralangan to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi teng bo'ladi.
Agar qavariq to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
Ta'rif 3
Agar ko'pburchakning barcha uchlari aylana ustida yotsa, u holda aylana ko'pburchak atrofida aylana deb ataladi (3-rasm).
Ta'rif 4
2 taʼrifini qanoatlantiradigan koʻpburchak aylana ichiga chizilgan deyiladi.
3-rasm. Cheklangan doira
2-teorema (uchburchakning aylanasi haqida)
Teorema 2
Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Unda $O$ nuqtada kesishuvchi perpendikulyar bissektrisalarni chizamiz va uni uchburchakning uchlari bilan bog'laymiz (4-rasm).
4-rasm. 2-teoremaning tasviri
Mavjudlik: markazi $O$ nuqtada va radiusi $OC$ boʻlgan aylana quramiz. $O$ nuqtasi uchburchak cho'qqilaridan teng masofada joylashgan, ya'ni $OA=OB=OC$. Binobarin, tuzilgan aylana berilgan uchburchakning barcha uchlari orqali o'tadi, demak u shu uchburchak atrofida chegaralangan.
O'ziga xoslik: Faraz qilaylik, $ABC$ uchburchagi atrofida markazi $O"$ nuqtada bo'lgan yana bir aylana tasvirlanishi mumkin. Uning markazi uchburchak cho'qqilaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun $O$ nuqtasiga to'g'ri keladi va shunday bo'ladi. uzunligi $OC $ ga teng radius Ammo keyin bu doira birinchisiga to'g'ri keladi.
Teorema isbotlangan.
Xulosa 1: Uchburchak atrofida chizilgan aylananing markazi uning bisektoral perpendikulyarlari kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi.
Aylana tushunchasi bilan bog'liq yana bir nechta faktlar:
To'rtburchak atrofida aylanani tasvirlash har doim ham mumkin emas.
Har qanday tsiklik to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklar yig'indisi $(180)^0$ ga teng.
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi $(180)^0$ bo'lsa, u holda uning atrofida aylana chizish mumkin.
Chizilgan va chegaralangan doiralar tushunchalari bo'yicha masala misoli
1-misol
Teng yonli uchburchakda asosi 8 sm, yon tomoni 5 sm ga teng, chizilgan doiraning radiusini toping.
Yechim.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Xulosa 1, biz bilamizki, aylana markazi bissektrisalarning kesishmasida yotadi. $O$ nuqtada kesishgan $AK$ va $BM$ bissektrisalarini chizamiz. $O$ nuqtadan $BC$ tomoniga perpendikulyar $OH$ chizamiz. Keling, rasm chizamiz:
5-rasm.
Uchburchak teng yonli bo'lgani uchun $BM$ ham median, ham balandlikdir. Pifagor teoremasi bo'yicha $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- chizilgan doiraning kerakli radiusi. $MC$ va $CH$ kesishuvchi tangenslarning segmentlari bo'lganligi sababli, kesishgan tangenslar haqidagi teorema bo'yicha bizda $CH=MC=4\sm$ bo'ladi. Shuning uchun $BH=5-4=1\ sm$. $BO=3-r$. $OHB$ uchburchagidan Pifagor teoremasiga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Javob:$\frac(4)(3)$.
Ta'rif 2
1-ta'rif shartini qanoatlantiradigan ko'pburchak aylana bo'ylab chegaralangan deyiladi.
1-rasm. Chizilgan doira
1-teorema (uchburchak ichiga chizilgan aylana haqida)
Teorema 1
Siz har qanday uchburchakka aylana yozishingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Unda $O$ nuqtada kesishuvchi bissektrisalarni chizamiz va undan uchburchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni chizamiz (2-rasm).
2-rasm. 1-teoremaning tasviri
Mavjudlik: Markazi $O$ nuqtada va radiusi $OK boʻlgan aylana chizamiz.\ $$O$ nuqta uchta bissektrisada joylashgani uchun u $ABC$ uchburchak tomonlaridan teng masofada joylashgan. Ya'ni $OM=OK=OL$. Demak, tuzilgan aylana $M\ va\ L$ nuqtalaridan ham o'tadi. $OM,OK\ va\OL$ uchburchak tomonlariga perpendikulyar boʻlganligi sababli, aylana tangens teoremasi boʻyicha tuzilgan aylana uchburchakning barcha uch tomoniga tegadi. Shuning uchun, uchburchakning o'zboshimchaligi tufayli, har qanday uchburchakda aylana chizilishi mumkin.
O'ziga xoslik: Faraz qilaylik, $ABC$ uchburchakka markazi $O"$ nuqtada bo'lgan boshqa aylana chizilgan bo'lishi mumkin. Uning markazi uchburchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun $O$ nuqtasiga to'g'ri keladi va radiusga teng. uzunligi $OK$ Ammo keyin bu doira birinchisiga to'g'ri keladi.
Teorema isbotlangan.
Xulosa 1: Uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazi uning bissektrisalarining kesishgan nuqtasida yotadi.
Yozilgan doira tushunchasi bilan bog'liq yana bir nechta faktlar:
Har bir to'rtburchak aylanaga sig'maydi.
Har qanday chegaralangan to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi teng bo'ladi.
Agar qavariq to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
Ta'rif 3
Agar ko'pburchakning barcha uchlari aylana ustida yotsa, u holda aylana ko'pburchak atrofida aylana deb ataladi (3-rasm).
Ta'rif 4
2 taʼrifini qanoatlantiradigan koʻpburchak aylana ichiga chizilgan deyiladi.
3-rasm. Cheklangan doira
2-teorema (uchburchakning aylanasi haqida)
Teorema 2
Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Unda $O$ nuqtada kesishuvchi perpendikulyar bissektrisalarni chizamiz va uni uchburchakning uchlari bilan bog'laymiz (4-rasm).
4-rasm. 2-teoremaning tasviri
Mavjudlik: markazi $O$ nuqtada va radiusi $OC$ boʻlgan aylana quramiz. $O$ nuqtasi uchburchak cho'qqilaridan teng masofada joylashgan, ya'ni $OA=OB=OC$. Binobarin, tuzilgan aylana berilgan uchburchakning barcha uchlari orqali o'tadi, demak u shu uchburchak atrofida chegaralangan.
O'ziga xoslik: Faraz qilaylik, $ABC$ uchburchagi atrofida markazi $O"$ nuqtada bo'lgan yana bir aylana tasvirlanishi mumkin. Uning markazi uchburchak cho'qqilaridan teng masofada joylashgan va shuning uchun $O$ nuqtasiga to'g'ri keladi va shunday bo'ladi. uzunligi $OC $ ga teng radius Ammo keyin bu doira birinchisiga to'g'ri keladi.
Teorema isbotlangan.
Xulosa 1: Uchburchak atrofida chizilgan aylananing markazi uning bisektoral perpendikulyarlari kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi.
Aylana tushunchasi bilan bog'liq yana bir nechta faktlar:
To'rtburchak atrofida aylanani tasvirlash har doim ham mumkin emas.
Har qanday tsiklik to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklar yig'indisi $(180)^0$ ga teng.
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi $(180)^0$ bo'lsa, u holda uning atrofida aylana chizish mumkin.
Chizilgan va chegaralangan doiralar tushunchalari bo'yicha masala misoli
1-misol
Teng yonli uchburchakda asosi 8 sm, yon tomoni 5 sm ga teng, chizilgan doiraning radiusini toping.
Yechim.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. Xulosa 1, biz bilamizki, aylana markazi bissektrisalarning kesishmasida yotadi. $O$ nuqtada kesishgan $AK$ va $BM$ bissektrisalarini chizamiz. $O$ nuqtadan $BC$ tomoniga perpendikulyar $OH$ chizamiz. Keling, rasm chizamiz:
5-rasm.
Uchburchak teng yonli bo'lgani uchun $BM$ ham median, ham balandlikdir. Pifagor teoremasi bo'yicha $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- chizilgan doiraning kerakli radiusi. $MC$ va $CH$ kesishuvchi tangenslarning segmentlari bo'lganligi sababli, kesishgan tangenslar haqidagi teorema bo'yicha bizda $CH=MC=4\sm$ bo'ladi. Shuning uchun $BH=5-4=1\ sm$. $BO=3-r$. $OHB$ uchburchagidan Pifagor teoremasiga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Javob:$\frac(4)(3)$.
Yozilgan uchburchak- barcha uchlari aylanada joylashgan uchburchak. Keyin aylana uchburchak atrofida o'ralgan deyiladi.
Shubhasiz, aylana markazidan uchburchakning har bir uchigacha bo'lgan masofa bir xil va bu aylana radiusiga teng.
Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta.
Doira yozilgan agar u barcha tomonlariga tegsa, uchburchakka aylanadi. Keyin uchburchakning o'zi bo'ladi tasvirlangan aylana atrofida. Chizilgan aylana markazidan uchburchakning har bir tomonigacha bo'lgan masofa bu aylana radiusiga teng.
Siz har qanday uchburchakka aylana yozishingiz mumkin va faqat bitta.
Uchburchak atrofidagi doirani o'zingiz tasvirlashga harakat qiling va kiriting uchburchakka aylana.
Nima uchun aylana markazi uchburchak bissektrisalarining kesishish nuqtasi, aylana markazi esa uning yon tomonlariga perpendikulyar bissektrisalarning kesishish nuqtasi deb o‘ylaysiz?
IN Yagona davlat imtihon topshiriqlari eng keng tarqalganlari chizilgan va chegaralangan muntazam uchburchaklardir.
Boshqa vazifalar ham bor. Ularni hal qilish uchun sizga kerak bo'ladi uchburchak maydoni uchun yana ikkita formula, va shuningdek sinus teoremasi.
Kvadrat uchburchak uning perimetri va chizilgan doira radiusi mahsulotining yarmiga teng.
S = p r,
bu erda p = ( a+b+c) - yarim perimetr,
r - uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.
Asosan C qismidagi masalalarda qo'llaniladigan yana bir formula mavjud:
Qayerda a, b, c- uchburchakning tomonlari, R - aylana radiusi.
Har qanday uchburchak uchun to'g'ri sinus teoremasi:
1. Teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi 2. Shu uchburchakning c gipotenuzasini toping. Iltimos, javobingizda ko'rsating.
Uchburchak to'rtburchak va teng yon tomonli. Bu uning oyoqlari bir xil ekanligini anglatadi. Har bir oyoq teng bo'lsin A. Keyin gipotenuza teng bo'ladi A .
ABC uchburchagining maydonini ikkita usulda yozamiz:
Ushbu ifodalarni tenglashtirib, biz buni olamiz. Chunki biz buni tushunamiz. Keyin.
Javobni yozamiz.
2. ABC to‘g‘ri burchakli uchburchakning AB tomoni uning atrofida o‘ralgan aylananing radiusiga teng. C burchagini toping. Javobingizni darajalarda bering.
Sinuslar qonuniga ko'ra,
Biz bu gunohni olamiz C =. C burchagi to'g'ri burchakli. Shunday qilib, u 150 ° ga teng.
Javob: 150.
3. Teng yonli uchburchakning tomonlari 40, asosi 48. Shu uchburchakning aylanasini toping.
Uchburchakning burchaklari berilmagan. Xo'sh, keling, uning maydonini ikki xil tarzda ifodalaymiz.
S = ah, bu erda h - uchburchakning balandligi. Buni topish qiyin emas - axir, teng yonli uchburchakda balandlik ham medianadir, ya'ni u AB tomonini ikkiga bo'ladi. Pifagor teoremasidan foydalanib h = 32 ni topamiz. Keyin R = 25.
EGE-Study » O'quv materiallari» Geometriya: noldan C4 gacha » Yozilgan va chegaralangan to‘rtburchaklar
Ushbu darsda biz chizilgan va chegaralangan doiralar nazariyasi asos bo'lgan asoslarni eslaymiz, chegaralangan va chizilgan to'rtburchaklarning xususiyatlarini eslaymiz. Bundan tashqari, biz har xil hollarda aylana va chizilgan aylananing radiuslarini topish formulalarini olamiz.
Mavzu: Doira
Dars: Yozilgan va chegaralangan doiralar
Avvalo, biz uchburchakka nisbatan chizilgan va chegaralangan doiralar haqida gapiramiz. Biz bu mavzuga tayyorlandik, chunki biz uchburchakning bissektrisalari va perpendikulyar bissektrisalarining xossalarini o'rganganmiz.
Doira har qanday uchburchakda yozilishi mumkin (1-rasmga qarang).
Guruch. 1
Isbot:
Bizga ma'lumki, uchburchakning barcha bissektrisalari bir nuqtada kesishadi - u O nuqtada bo'lsin. Keling, AO, BO, CO bissektrisalarini chizamiz. Ularning kesishish nuqtasi O uchburchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan. U burchakning yon tomonlaridan - AC va AB dan teng masofada joylashgan, chunki u bu burchakning bissektrisasiga tegishli. Xuddi shunday, u burchaklarning yon tomonlaridan va shuning uchun uchburchakning uch tomonidan teng masofada joylashgan.
O nuqtadan uchburchakning tomonlariga - OM dan AC tomoniga, OLdan BCga, OK dan AB ga perpendikulyarlarni tushiramiz. Ushbu perpendikulyarlar O nuqtadan uchburchakning tomonlarigacha bo'lgan masofalar bo'ladi va ular tengdir:
.
O nuqtadan uchburchakning tomonlarigacha bo'lgan masofani r deb belgilaymiz va markazi O nuqtada va radiusi r bo'lgan doirani ko'rib chiqamiz.
Doira AB to'g'ri chiziqqa tegadi, chunki bilan umumiy K nuqtaga ega va bu nuqtaga chizilgan OK radiusi AB to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar. Xuddi shunday, aylana AC va BC chiziqlariga tegadi. Shunday qilib, aylana uchburchakning barcha tomonlariga tegadi, ya'ni u uchburchak ichiga yozilgan.
Shunday qilib, uchburchakning uchta bissektrisalari aylana markazi bo'lgan nuqtada kesishadi.
Yana bir teoremani ko'rib chiqaylik, u uchburchakning perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasiga tegishli. Biz bilamizki, ular bir nuqtada kesishadi va bu nuqta uchburchak atrofida chizilgan aylananing markaziga to'g'ri keladi.
Har qanday uchburchak atrofida aylana chizish mumkin.
Shunday qilib, uchburchak berilgan. BC uchburchakning yon tomoniga p 1 bissektrisa, AB tomoniga p 2, AC tomoniga p 3 chizamiz (2-rasmga qarang).
Perpendikulyar bissektrisalarning xossalari haqidagi teoremaga ko'ra, segmentning perpendikulyar bissektrisasiga tegishli nuqta segment uchlaridan teng masofada joylashgan. Demak, chunki Q nuqtasi AC segmentiga perpendikulyar bissektrisaga tegishli. Xuddi shunday. Shunday qilib, Q nuqtasi uchburchakning uchlaridan teng masofada joylashgan. Demak, QA, QB, QC radiuslardir
Guruch. 2
uchburchak atrofida aylana. Radiusni R deb belgilaymiz. Bissektrial perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi O - aylananing markazi.
Keling, ma'lum bir to'rtburchak ichiga chizilgan doirani va bu to'rtburchakning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik (3-rasmga qarang).
Burchakning bissektrisasida yotgan nuqtaning xossalarini eslaylik.
Burchak berilgan, uning bissektrisasi AL, M nuqtasi bissektrisasida yotadi.
Agar M nuqta burchakning bissektrisasida yotsa, u holda u burchak tomonlaridan teng masofada joylashgan, ya'ni M nuqtadan AC va BC burchak tomonlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'ladi.
Guruch. 3
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar uzunligidir. M nuqtadan AB tomoniga MK va AC tomoniga MR perpendikulyarlarini o'tkazamiz.
Uchburchaklarni ko'rib chiqing va . Bu to'g'ri uchburchaklar, va ular teng, chunki umumiy gipotenuzasiga ega AM va burchaklar teng, chunki AL burchakning bissektrisasidir. Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchaklar gipotenuza va o'tkir burchakda tengdir, shundan kelib chiqadiki, buni isbotlash kerak edi. Demak, burchakning bissektrisasidagi nuqta shu burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan.
Bundan tashqari, oyoqlar. Shunday qilib, bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangens segmentlar tengdir.
Shunday qilib, keling, to'rtburchakka qaytaylik. Birinchi qadam unda bissektrisalarni chizishdir.
To'rtburchakning barcha bissektrisalari bir nuqtada kesishadi - chizilgan doira markazi O nuqtasi.
O nuqtadan K, L, M, N nuqtalarga to'rtburchakning yon tomonlariga perpendikulyarlarni tushiramiz va teginish nuqtalarini aniqlaymiz (3-rasmga qarang).
Aylanaga bir nuqtadan chizilgan tangenslar bir-biriga teng, shuning uchun har bir uchidan bir juft teng teglar chiqadi: , , , .
Guruch. 3
Agar aylana to'rtburchakka chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi teng bo'ladi. Buni isbotlash oson:
Qavslarni kengaytiramiz:
Shunday qilib, biz oddiy, ammo muhim teoremani isbotladik.
Agar aylana to'rtburchakka chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi teng bo'ladi.
Yarmarka qarama-qarshi teorema.
Agar to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning yig'indisi teng bo'lsa, unda aylana chizilishi mumkin.
To'rtburchak atrofida aylanani ko'rib chiqaylik.
Markazi O bo'lgan aylana va ixtiyoriy ABCD to'rtburchak berilgan. Keling, ushbu to'rtburchakning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Berilgan to'rtburchakning barcha to'rtta perpendikulyar bissektrisalari bir nuqtada kesishadi: bu nuqta aylananing markazidir.
To'rtta perpendikulyar bissektrisaning bir nuqtada kesishishini isbotlash zerikarli bo'lar edi. Yana bir belgi bor. Keling, ےA burchakni ko'rib chiqaylik, bu aylananing chizilgan burchagi, u yoyga tayanadi va bu yoyning yarim daraja o'lchovi bilan o'lchanadi (4-rasmga qarang). ےA burchakni, keyin yoyni deb belgilaymiz. Xuddi shunday, biz qarama-qarshi burchakni ےS deb belgilaymiz, u aylana ichiga yozilgan va yoyga tayanadi. Shuning uchun kamon.
Guruch. 4
Yoylar to'liq aylana hosil qiladi. Bu yerdan:
, 
Olingan ifodani ikkiga bo'lib, biz quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, biz to'g'ridan-to'g'ri teoremani isbotladik.
Teorema
Agar to'rtburchak atrofida aylana chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi .
Bu zarur va yetarli belgi, ya’ni teskari teorema to’g’ri.
Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi ga teng bo'lsa, bu to'rtburchak atrofida aylana chizish mumkin.
Bu teoremalarga asoslanib shuni ta'kidlaymizki, parallelogramm atrofidagi aylanani tasvirlab bo'lmaydi, chunki uning qarama-qarshi burchaklari teng va ularning yig'indisi teng emas (5-rasmga qarang).
Guruch. 5
Agar parallelogramm atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar uning qarama-qarshi burchaklari 90 ° ga teng bo'lsa, ya'ni agar u to'rtburchak bo'lsa, demak, aylana to'rtburchak atrofida tasvirlangan bo'lishi mumkin (6-rasmga qarang).
Guruch. 6
Romb atrofidagi aylanani ham tasvirlab bo'lmaydi, lekin uni yozib qo'yish mumkin, chunki rombning barcha tomonlari teng, shuning uchun rombning qarama-qarshi tomonlari yig'indilari tengdir.
Bundan tashqari, rombda har bir diagonal bissektrisadir;
Guruch. 7
Shunday qilib, biz isbotladikki, aylana har qanday uchburchak ichiga chiziladi va bu aylana markazi uchburchak bissektrisalarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. Shuningdek, biz har qanday uchburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkinligini va uning markazi perpendikulyar bissektrisalarning kesishish nuqtasiga to'g'ri kelishini isbotladik. Bundan tashqari, biz ba'zi to'rtburchaklarni aylana bilan yozish mumkinligini ko'rdik va buning uchun to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari yig'indilari teng bo'lishi kerak. Ayrim to'rtburchaklar atrofida aylana tasvirlash mumkinligini, buning uchun zarur va yetarli shart qarama-qarshi burchaklar yig'indisining tengligi ekanligini ham ko'rsatdik.
Ma'lumotnomalar
- Aleksandrov A.D. va boshqalar Geometriya, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometriya, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2011 yil.
- Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometriya, 8-sinf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 yil.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
Uy vazifasi
Ushbu maqola uchun zarur bo'lgan doira ma'lumotlarining minimal to'plami mavjud muvaffaqiyatli yakunlash Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoni.
Atrof berilgan nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalar to'plami bo'lib, u aylana markazi deb ataladi.
Doira ustida yotgan har qanday nuqta uchun tenglik bajariladi (Segmentning uzunligi aylananing radiusiga teng.
Doiradagi ikkita nuqtani birlashtiruvchi chiziq segmenti deyiladi akkord.
Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri doira() .
Atrof:
Doira maydoni:
Doira yoyi:
Ikki nuqta orasiga aylananing qismi deyiladi yoy doiralar. Doiradagi ikkita nuqta ikkita yoyni aniqlaydi. Akkord ikkita yoyni ajratadi: va . Teng akkordlar teng yoylarga bo'linadi.
Ikki radius orasidagi burchak deyiladi markaziy burchak :
Yoy uzunligini topish uchun biz proportsiya qilamiz:
a) burchak darajalarda berilgan:
b) burchak radianlarda berilgan:
Chordga perpendikulyar diametr , bu akkordni va u ajratadigan yoylarni ikkiga ajratadi:
Agar akkordlar Va doiralar bir nuqtada kesishadi , u holda ular nuqta bilan bo'lingan akkord segmentlarining hosilalari bir-biriga teng bo'ladi:
Aylanaga teginish.
Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq deyiladi tangens doiraga. Aylana bilan ikkita umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq deyiladi sekant
Aylanaga tegish teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.
Agar berilgan nuqtadan aylanaga ikkita tangens o'tkazilsa, u holda tangens segmentlari bir-biriga teng va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida yotadi:
Agar berilgan nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa tangens segment uzunligi kvadrati mahsulotga teng butun segment uning tashqi qismiga kesiladi :
Natija: bir sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining mahsuloti boshqa sekantning butun segmenti va uning tashqi qismining ko'paytmasiga teng:
Aylanadagi burchaklar.
Markaziy burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchoviga teng:
Choʻqqisi aylana ustida joylashgan va tomonlarida akkordlar boʻlgan burchak deyiladi yozilgan burchak . Yozilgan burchak u joylashgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi:
∠∠
Diametrga bog'liq chizilgan burchak to'g'ri:
∠∠∠
Bitta yoy bo'ylab chizilgan burchaklar tengdir :
Bitta akkord tomonidan ajratilgan chizilgan burchaklar teng yoki ularning yig'indisi teng
∠∠
Berilgan asos va teng burchakli uchburchaklarning uchlari bir xil doirada yotadi:
Ikki akkord orasidagi burchak (aylana ichidagi tepasi bo'lgan burchak) ma'lum bir burchak ichida va vertikal burchak ichida joylashgan aylananing yoylarining burchak qiymatlari yig'indisining yarmiga teng.
∠ ∠∠
(⌣ ⌣ )
Ikki sekant orasidagi burchak (cho'qqisi doiradan tashqarida bo'lgan burchak) burchak ichida joylashgan aylananing yoylarining burchak qiymatlarining yarim farqiga teng.
∠ ∠∠(⌣ ⌣ )
Chizilgan doira.
Doira deyiladi ko'pburchak shaklida yozilgan , agar u yon tomonlariga tegsa. Chizilgan doira markazi ko'pburchak burchaklarining bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi.
Har bir ko'pburchak aylanaga sig'maydi.
Ko'pburchakning doira chizilgan maydoni formuladan foydalanib topish mumkin
bu erda ko'pburchakning yarim perimetri va chizilgan doira radiusi.
Bu yerdan chizilgan doira radiusi teng
Agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'ladi. . Aksincha: agar qavariq to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'lsa, to'rtburchakda aylana chizilgan bo'lishi mumkin:
Siz har qanday uchburchakka aylana yozishingiz mumkin va faqat bitta. Doira markazi uchburchakning ichki burchaklarining bissektrisalarining kesishgan nuqtasida yotadi.
Chizilgan doira radiusi
ga teng. Bu yerga 
Cheklangan doira.
Doira deyiladi poligon haqida tasvirlangan , agar u ko'pburchakning barcha uchlaridan o'tsa. Doira markazi ko'pburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishgan nuqtasida yotadi. Radius berilgan ko'pburchakning har qanday uchta uchi bilan aniqlangan uchburchak bilan chegaralangan aylananing radiusi sifatida hisoblanadi:
To'rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng bo'lsa. .
Har qanday uchburchak atrofida siz aylana tasvirlashingiz mumkin va faqat bitta. Uning markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi:
Circumradius formulalar yordamida hisoblab chiqiladi:
Uchburchak tomonlarining uzunliklari qayerda va uning maydoni.
Ptolemey teoremasi
Tsiklik to'rtburchakda diagonallarning ko'paytmasi uning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng: