Ratsional funktsiyalarni (kasrlarni) batafsil echimlar bilan integrallash misollari ko'rib chiqiladi.
TarkibShuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari
Bu erda biz quyidagi ratsional kasrlarni birlashtirishning uchta misoliga batafsil echimlarni taqdim etamiz:
,
,
.
1-misol
Integralni hisoblang:
.
Bu erda integral belgisi ostida ratsional funktsiya mavjud, chunki integratsiya ko'phadlarning bir qismidir. Denominator polinom darajasi ( 3 ) sanoqli ko'phadning darajasidan kichik ( 4 ). Shuning uchun, avval siz kasrning butun qismini tanlashingiz kerak.
1.
Kasrning butun qismini tanlaymiz. x ni bo'ling 4
tomonidan x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Bu yerdan
.
2.
Kasrning maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun siz kub tenglamani echishingiz kerak:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
X = ni almashtiramiz 1
:
.
1
. x ga bo'lish - 1
:
Bu yerdan
.
Kvadrat tenglamani yechish.
.
Tenglamaning ildizlari: , .
Keyin
.
3.
Keling, kasrni eng oddiy shaklga ajratamiz.
.
Shunday qilib, biz topdik:
.
Keling, integratsiya qilaylik.
2-misol
Integralni hisoblang:
.
Bu erda kasrning numeratori nol darajali ko'phaddir ( 1 = x 0). Maxraj uchinchi darajali ko'phaddir. Chunki 0 < 3 , keyin kasr to'g'ri. Keling, uni oddiy kasrlarga ajratamiz.
1.
Kasrning maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun uchinchi darajali tenglamani yechish kerak:
.
Faraz qilaylik, uning kamida bitta butun ildizi bor. Keyin u sonning bo'luvchisidir 3
(x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 3, -1, -3
.
X = ni almashtiramiz 1
:
.
Shunday qilib, biz bitta ildizni topdik x = 1
. x ni bo'ling 3 + 2 x - 3 x da - 1
:
Shunday qilib,
.
Kvadrat tenglamani yechish:
x 2 + x + 3 = 0.
Diskriminantni toping: D = 1 2 - 4 3 = -11. Chunki D< 0
, u holda tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Shunday qilib, biz maxrajning faktorizatsiyasini oldik:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1)
.
X = ni almashtiramiz 1
. Keyin x - 1 = 0
,
.
Keling, almashtiramiz (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
ga tenglashamiz (2.1)
x uchun koeffitsientlar 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Keling, integratsiya qilaylik.
(2.2)
.
Ikkinchi integralni hisoblash uchun hisoblagichdagi maxrajning hosilasini tanlaymiz va maxrajni kvadratlar yig'indisiga qisqartiramiz.
;
;
.
Hisoblang I 2
.
.
x tenglamasidan beri 2 + x + 3 = 0 haqiqiy ildizga ega emas, keyin x 2 + x + 3 > 0. Shuning uchun modul belgisini o'tkazib yuborish mumkin.
ga yetkazib beramiz (2.2)
:
.
3-misol
Integralni hisoblang:
.
Bu erda integral belgisi ostida ko'phadlarning bir qismi mavjud. Demak, integral ratsional funktsiyadir. Numeratordagi ko'phadning darajasi ga teng 3 . Kasr maxrajining ko'phad darajasi ga teng 4 . Chunki 3 < 4 , keyin kasr to'g'ri. Shuning uchun uni oddiy kasrlarga ajratish mumkin. Lekin buning uchun siz maxrajni faktorlarga ajratishingiz kerak.
1.
Kasrning maxrajini koeffitsientlarga ajratamiz. Buning uchun siz to'rtinchi darajali tenglamani echishingiz kerak:
.
Faraz qilaylik, uning kamida bitta butun ildizi bor. Keyin u sonning bo'luvchisidir 2
(x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 2, -1, -2
.
X = ni almashtiramiz -1
:
.
Shunday qilib, biz bitta ildizni topdik x = -1
. x ga bo'lish - (-1) = x + 1:
Shunday qilib,
.
Endi uchinchi darajali tenglamani yechishimiz kerak:
.
Agar bu tenglama butun son ildiziga ega deb faraz qilsak, u sonning bo'luvchisidir. 2
(x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 2, -1, -2
.
X = ni almashtiramiz -1
:
.
Shunday qilib, biz boshqa x = ildizini topdik -1
. Oldingi holatda bo'lgani kabi, ko'phadni ga bo'lish mumkin edi, lekin biz atamalarni guruhlaymiz:
.
x tenglamasidan beri 2 + 2 = 0
haqiqiy ildizlari yo'q, u holda biz maxrajning faktorizatsiyasini olamiz:
.
2.
Keling, kasrni eng oddiy shaklga ajratamiz. Biz quyidagi shaklda kengaytmani qidirmoqdamiz:
.
Biz kasrning maxrajidan qutulamiz, ko'paytiramiz (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
X = ni almashtiramiz -1
. Keyin x + 1 = 0
,
.
Keling, farq qilaylik (3.1)
:
;
.
X = ni almashtiramiz -1
va x + ekanligini hisobga oling 1 = 0
:
;
;
.
Keling, almashtiramiz (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
ga tenglashamiz (3.1)
x uchun koeffitsientlar 3
:
;
1 = B + C;
.
Shunday qilib, biz oddiy kasrlarga parchalanishni topdik:
.
3.
Keling, integratsiya qilaylik.
.
Kasr deyiladi to'g'ri, agar hisoblagichning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan kichik bo'lsa. To'g'ri ratsional kasrning integrali quyidagi ko'rinishga ega:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Ratsional kasrlarni integrallash formulasi ko‘phadning maxrajdagi ildizlariga bog‘liq. Agar $ ax^2+bx+c $ polinomida:
- Faqat murakkab ildizlar, keyin undan chiqarib olish kerak mukammal kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
- Turli xil haqiqiy ildizlar $ x_1 $ va $ x_2 $, keyin siz integralni kengaytirishingiz va noaniq koeffitsientlarni topishingiz kerak $ A $ va $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Bir nechta ildiz $ x_1 $, keyin biz integralni kengaytiramiz va quyidagi formula uchun $ A $ va $ B $ noaniq koeffitsientlarini topamiz: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Agar kasr bo'lsa noto'g'ri, ya'ni hisoblagichdagi eng yuqori daraja maxrajning eng yuqori darajasidan katta yoki unga teng bo'lsa, avval uni qisqartirish kerak. to'g'ri ko'phadni sondan ko'phadni maxrajdan bo'lish orqali hosil bo'ladi. Bunday holda, ratsional kasrni integrallash formulasi quyidagi shaklga ega:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Yechimlarga misollar
| 1-misol |
| Ratsional kasrning integralini toping: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Yechim |
|
Kasr to'g'ri va ko'phad faqat murakkab ildizlarga ega. Shuning uchun biz to'liq kvadratni tanlaymiz: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Biz to'liq kvadratni katlaymiz va uni $ x-5 $ differensial belgisi ostiga qo'yamiz: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Integrallar jadvalidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Agar muammoingizni hal qila olmasangiz, uni bizga yuboring. ta'minlaymiz batafsil yechim. Hisoblash jarayonini ko'rishingiz va ma'lumot olishingiz mumkin. Bu sizga o'qituvchingizdan o'z vaqtida baho olishingizga yordam beradi! |
| Javob |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| 2-misol |
| Ratsional kasrlarni integrallashini bajaring: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Yechim |
|
Kvadrat tenglamani yechamiz: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Biz ildizlarni yozamiz: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Olingan ildizlarni hisobga olib, biz integralni o'zgartiramiz: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Ratsional kasrni kengaytirishni bajaramiz: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Numeratorlarni tenglashtiramiz va $ A $ va $ B $ koeffitsientlarini topamiz: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Balta + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(holatlar) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(holatlar) $$ $$ \begin(holatlar) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(holatlar) $$ Topilgan koeffitsientlarni integralga almashtiramiz va uni yechamiz: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Javob |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Shuni eslatib o'tamiz kasr-ratsional$$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)) koʻrinishdagi funksiyalar deyiladi, $$ umumiy holatda ikki polinom %%P_n(x)%% va % nisbati boʻladi. %Q_m(x)% %.
Agar %%m > n \geq 0%% bo'lsa, ratsional kasr deyiladi to'g'ri, aks holda - noto'g'ri. Ko'phadlarni bo'lish qoidasidan foydalanib, noto'g'ri ratsional kasrni%% P_(n - m)%%%% n - m%% polinomi va ba'zi bir to'g'ri kasrning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin, ya'ni. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ bu yerda daraja %%l%% %%P_l(x)%% polinomining %%Q_n(x)%% polinomining %%n%% darajasidan kichik.
Shunday qilib, ratsional funktsiyaning noaniq integralini ko'p nomli va to'g'ri ratsional kasrning noaniq integrallari yig'indisi sifatida ifodalash mumkin.
Oddiy ratsional kasrlardan integrallar
To'g'ri ratsional kasrlar orasida to'rtta tur mavjud bo'lib, ular quyidagicha tasniflanadi oddiy ratsional kasrlar:
- %%\displaystyle \frac(A)(x - a)%%,
- %%\displaystyle \frac(A)((x - a)^k)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
- %%\displaystyle \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,
bu yerda %%k > 1%% butun son va %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. kvadrat tenglamalar haqiqiy ildizlarga ega emas.
Birinchi ikki turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash
Birinchi ikki turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash qiyinchilik tug'dirmaydi: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a) )^(k-1)) + C. \end(massiv) $$
Uchinchi turdagi kasrlarning noaniq integrallarini hisoblash
Biz birinchi navbatda uchinchi kasr turini maxrajdagi mukammal kvadratni ajratib ko'rsatish orqali o'zgartiramiz: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2) )^2 + q - p^2/4), $$ beri %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, biz %%a^2%% deb belgilaymiz. Shuningdek, %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%% almashtirib, maxrajni o‘zgartiramiz va uchinchi turdagi kasrning integralini $$ \begin(massiv) ko‘rinishida yozamiz. )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (At + (B - A p/2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \end(massiv) $$
Noaniq integralning chiziqliligidan foydalanib, oxirgi integralni ikkining yig'indisi sifatida ifodalaymiz va ularning birinchisida differensial belgisi ostida %%t%% kiritamiz: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (+ (B - A p /2)) (t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ da) 2) + \left(B - \frac(pA)(2)\right)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\o'ng))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \left| t^2 + a^2\o'ng| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(massiv) $$
Dastlabki %%x%% o'zgaruvchiga qaytsak, natijada uchinchi turdagi bir qism uchun $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x ni olamiz. = \frac(A)( 2) \ln \left| x^2 + px + q\o'ng| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ bunda %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.
4-toifa integralni hisoblash qiyin va shuning uchun bu kursda ko'rib chiqilmaydi.
Kasrli ratsional funktsiyaning noaniq integralini topish masalasi oddiy kasrlarni integrallashdan kelib chiqadi. Shuning uchun, avvalo, kasrlarni eng oddiyga parchalash nazariyasi bo'limi bilan tanishishingizni tavsiya qilamiz.
Misol.
Noaniq integralni toping.
Yechim.
Integratsiya hisobining darajasi maxraj darajasiga teng bo'lganligi sababli, biz birinchi navbatda ko'phadni ko'phadga ustun bilan bo'lish orqali butun qismni tanlaymiz: 
Shunung uchun, 
.
Olingan to'g'ri ratsional kasrning oddiy kasrlarga parchalanishi shaklga ega 
. Demak, 
Olingan integral uchinchi turdagi eng oddiy kasrning integralidir. Bir oz oldinga qarab, biz uni differentsial belgi ostida qabul qilish orqali olishingiz mumkinligini ta'kidlaymiz.
Chunki 
, Bu 
. Shunung uchun 
Demak, 
Endi to'rt turdagi har bir oddiy kasrlarni integrallash usullarini tavsiflashga o'tamiz.
Birinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash
To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli ushbu muammoni hal qilish uchun idealdir:
Misol.
Funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping
Yechim.
Qarama-qarshi hosila xossalari, anti hosilalar jadvali va integrasiya qoidasidan foydalanib noaniq integralni topamiz.
Sahifaning yuqorisi
Ikkinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash
Ushbu muammoni hal qilish uchun to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli ham mos keladi: 
Misol.
Yechim.
Sahifaning yuqorisi
Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash 
Avval noaniq integralni keltiramiz 
jami sifatida:
Birinchi integralni differensial belgi ostida yig'ish orqali olamiz: 
Shunung uchun, 
Olingan integralning maxrajini aylantiramiz: 
Demak, 
Uchinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash formulasi quyidagi shaklni oladi: 
Misol.
Noaniq integralni toping 
.
Yechim.
Olingan formuladan foydalanamiz: 
Agar bizda ushbu formula bo'lmasa, nima qilgan bo'lardik: 
Sahifaning yuqorisi
To'rtinchi turdagi oddiy kasrlarni integrallash 
Birinchi qadam, uni differentsial belgi ostida qo'yishdir: 
Ikkinchi bosqich - bu shaklning integralini topish 
. Bu turdagi integrallar takrorlanish formulalari yordamida topiladi. (Takrorlanish formulalari yordamida integratsiya bo'limiga qarang.) Quyidagi takroriy formula bizning holatimizga mos keladi:
Misol.
Noaniq integralni toping
Yechim.
Ushbu turdagi integrallar uchun biz almashtirish usulidan foydalanamiz. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz (irratsional funktsiyalarni birlashtirish bo'limiga qarang): 
O'zgartirishdan keyin bizda: 
Biz to'rtinchi turdagi kasrning integralini topishga keldik. Bizning holatlarimizda koeffitsientlar mavjud M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Va n=3. Biz takroriy formulani qo'llaymiz: 
Teskari almashtirishdan so'ng biz natijaga erishamiz:
| Integratsiya trigonometrik funktsiyalar | ||||||||||||||||||||
1.Shaklning integrallari    Quyidagi formulalar yordamida trigonometrik funktsiyalar mahsulotini yig'indiga aylantirish orqali hisoblanadi:  Masalan, 2.Shaklning integrallari  , Qayerda m yoki n– toq musbat son, uni differentsial belgi ostida yig‘ish yo‘li bilan hisoblanadi. Masalan,   3.Shaklning integrallari , Qayerda m Va n-hatto musbat raqamlar darajani kamaytirish uchun formulalar yordamida hisoblanadi: Masalan,  4.Integrallar  qayerda o'zgaruvchini o'zgartirish orqali hisoblanadi: yoki Masalan,  5. Shaklning integrallari universal trigonometrik almashtirish yordamida ratsional kasrlarning integrallariga keltiriladi (chunki  =[hisob va maxraj ga bo'lingandan keyin ]= ;  Masalan,  Shuni ta'kidlash kerakki, universal almashtirishdan foydalanish ko'pincha noqulay hisob-kitoblarga olib keladi. |
||||||||||||||||||||
| §5. Eng oddiy irratsionalliklarning integratsiyasi | ||||||||||||||||||||
Keling, irratsionallikning eng oddiy turlarini birlashtirish usullarini ko'rib chiqaylik. 1.  Ushbu turdagi funktsiyalar 3-toifadagi eng oddiy ratsional kasrlar bilan bir xil tarzda integrallanadi: maxrajda kvadratik trinomial to'liq kvadrat tanlanadi va yangi o'zgaruvchi kiritiladi. Misol.  2. (integral belgisi ostida - argumentlarning ratsional funktsiyasi). Ushbu turdagi integrallar almashtirish yordamida hisoblanadi. Xususan, shaklning integrallarida biz belgilaymiz . Agar integralda turli darajadagi ildizlar bo'lsa:  , keyin qayerni belgilang n– raqamlarning eng kichik umumiy karrali m,k. 1-misol.  2-misol.  -noto'g'ri ratsional kasr, butun qismni tanlang:
3.Shaklning integrallari
|
trigonometrik almashtirishlar yordamida hisoblab chiqiladi:
44 
45 Aniq integral
Aniq integral- juftliklar to'plamida aniqlangan qo'shimcha monoton normallashtirilgan funktsional funktsiya, birinchi komponenti integrallanadigan funktsiya yoki funktsional, ikkinchisi esa ushbu funktsiyani (funktsional) ko'rsatuvchi to'plamdagi domendir.
Ta'rif
Bu belgilansin. Keling, uni bir nechta ixtiyoriy nuqtalari bo'lgan qismlarga ajratamiz. Keyin ular segment bo'linganligini aytishadi.Keyin, ixtiyoriy nuqtani tanlang 
, ,
Intervaldagi funksiyaning aniq integrali integral yig‘indilarining chegarasi bo‘lib, bo‘linish darajasi nolga intiladi, agar u bo‘linish va nuqtalarni tanlashdan mustaqil ravishda mavjud bo‘lsa, ya’ni.
Agar belgilangan chegara mavjud bo'lsa, u holda funksiya Riemann integrallanishi deyiladi.
Belgilar
· - pastki chegara.
· - yuqori chegara.
· - integral funksiya.
· - qisman segment uzunligi.
· - mos keladigan bo'limdagi funksiyaning integral yig'indisi.
· 
- qisman segmentning maksimal uzunligi.
Xususiyatlari
Agar funktsiya Rieman integrallanishi mumkin bo'lsa, u bilan chegaralangan bo'ladi.
Aniq integral figuraning maydoni sifatida
Aniq integral son jihatdan abscissa o'qi, to'g'ri chiziqlar va funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydoniga teng.
Nyuton-Leybnits teoremasi
[tahrir]
("Nyuton-Leybnits formulasidan" yo'naltirildi)
Nyuton-Leybnits formulasi yoki tahlilning asosiy teoremasi ikki amal orasidagi munosabatni beradi: aniq integralni olish va antiderivativni hisoblash.
Isbot
Integrallanuvchi funksiya intervalda berilgan bo'lsin. Keling, shuni ta'kidlashdan boshlaylik
ya'ni segment ustidagi aniq integralda qaysi harf (yoki) belgi ostida ekanligi muhim emas.
Keling, ixtiyoriy qiymat o'rnatamiz va yangi funktsiyani aniqlaymiz 
. ning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi, chunki biz bilamizki, agar on ning integrali bo'lsa, unda on ning integrali ham bor, bu erda. Eslatib o'tamiz, biz ta'rif bo'yicha ko'rib chiqamiz
(1)
e'tibor bering, bu
Intervalda uzluksiz ekanligini ko'rsatamiz. Aslida, ruxsat bering; Keyin
va agar , keyin
Shunday qilib, u uzilishlar bor yoki yo'qligidan qat'i nazar, uzluksizdir; ustida integral bo'lishi muhim ahamiyatga ega.
Rasmda grafik ko'rsatilgan. O'zgaruvchan raqamning maydoni . Uning o'sishi rasmning maydoniga teng 
, u o'zining chegaralanganligi tufayli uzluksizlik yoki uzilish nuqtasi bo'lishidan qat'i nazar, aniq nolga moyil bo'ladi, masalan, nuqta.
Endi funksiya faqat integrallanuvchi emas, balki nuqtada uzluksiz bo'lsin. Keling, bu nuqtada hosila teng ekanligini isbotlaylik
(2)
Aslida, ko'rsatilgan nuqta uchun
(1) , (3)
ni qo'yamiz va u ga nisbatan doimiy bo'lgani uchun ,TO 
. Bundan tashqari, bir nuqtada uzluksizligi tufayli har qanday kishi uchun shunday bo'lishi mumkin.
bu tengsizlikning chap tomoni uchun o(1) ekanligini isbotlaydi.
(3) dagi chegaraga o'tish nuqtada hosilasining mavjudligini va (2) tenglikning haqiqiyligini ko'rsatadi. Bu erda biz mos ravishda o'ng va chap lotinlar haqida gapirganda.
Agar funktsiya uzluksiz bo'lsa, yuqorida isbotlangan narsaga asoslanib, mos keladigan funktsiya
(4)
ga teng hosilaga ega. Shuning uchun funktsiya ga qarshi hosiladir.
Bu xulosa ba'zan o'zgaruvchan yuqori chegara integral teoremasi yoki Barrou teoremasi deb ataladi.
Biz oraliqda uzluksiz ixtiyoriy funktsiya bu oraliqda (4) tenglik bilan aniqlangan anti hosilaga ega ekanligini isbotladik. Bu intervalda uzluksiz har qanday funksiya uchun antiderivativ mavjudligini isbotlaydi.
Endi funksiyaning ixtiyoriy anti hosilasi bo'lsin. Biz bilamizki , qayerda ba'zi doimiy. Bu tenglikni faraz qilib va buni hisobga olsak, olamiz.
Shunday qilib, . Lekin
Noto'g'ri integral
[tahrir]
Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya
Aniq integral chaqirdi sizniki emas, agar quyidagi shartlardan kamida bittasi bajarilsa:
· limit a yoki b (yoki ikkala chegara) cheksizdir;
· f(x) funksiyasi segment ichida bir yoki bir nechta uzilish nuqtalariga ega.
[tahrirlash]Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar
. Keyin:
1. Agar 
va integral deyiladi . Ushbu holatda konvergent deyiladi.
, yoki oddiygina farqli.
va dan to'plamda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin 
. Keyin:
1. Agar 
, keyin belgi ishlatiladi 
va integral deyiladi birinchi turdagi noto'g'ri Riman integrali. Ushbu holatda konvergent deyiladi.
2. Agar chekli bo‘lmasa 
( yoki ), u holda integral ga ajraladi deyiladi , yoki oddiygina farqli.
Agar funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u holda ushbu funktsiyaning quyidagi formula bilan aniqlangan ikkita cheksiz integratsiya chegarasi bilan noto'g'ri integrali bo'lishi mumkin:
, bu yerda c - ixtiyoriy son.
[tahrir] Birinchi turdagi noto'g'ri integralning geometrik ma'nosi
Noto'g'ri integral cheksiz uzunlik maydonini ifodalaydi kavisli trapezoid.
[tahrir] Misollar
[tahrirlash]Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar
ga aniqlangan bo'lsin, x=a nuqtada cheksiz uzilishga duchor bo'lsin 
. Keyin:
1. Agar 
, keyin belgi ishlatiladi 
va integral deyiladi
divergent deb ataladi , yoki oddiygina farqli.
ga aniqlangan bo'lsin, x=b va da cheksiz uzilishga duchor bo'ladi 
. Keyin:
1. Agar 
, keyin belgi ishlatiladi va integral deyiladi ikkinchi turdagi noto'g'ri Riman integrali. Bu holda integral konvergent deb ataladi.
2. Agar yoki bo'lsa, belgi bir xil bo'lib qoladi va divergent deb ataladi , yoki oddiygina farqli.
Agar funksiya segmentning ichki nuqtasida uzilishga uchrasa, ikkinchi turdagi noto'g'ri integrali quyidagi formula bilan aniqlanadi:
[tahrir] Geometrik ma'no noto'g'ri integrallar II tur
Noto'g'ri integral cheksiz uzun kavisli trapetsiya maydonini ifodalaydi
[tahrir] Misol
[tahrirlash]Alohida holat
Funktsiya butun son chizig'ida aniqlangan va nuqtalarda uzilishga ega bo'lsin.
Keyin noto'g'ri integralni topishimiz mumkin
[tahrirlash] Koshi mezoni
1. va dan to'plamda aniqlansin 
.
Keyin 
birlashadi
2. va ustida aniqlansin 
.
Keyin birlashadi
[tahrirlash]Mutlaq yaqinlashuv
Integral 
chaqirdi mutlaqo konvergent, Agar 
birlashadi.
Agar integral absolyut yaqinlashsa, u yaqinlashadi.
[tahrirlash]Shartli yaqinlashuv
Integral deyiladi shartli konvergent, agar u yaqinlashsa, lekin ajralib chiqsa.
48 12. Noto'g'ri integrallar.
Aniq integrallarni ko'rib chiqishda biz integratsiya mintaqasi cheklangan deb taxmin qildik (aniqrog'i, bu segment [ a ,b ]); Aniq integral mavjudligi uchun integral [ bilan chegaralangan bo'lishi kerak. a ,b ]. Biz qo'ng'iroq qilamiz aniq integrallar, buning uchun ushbu shartlarning ikkalasi ham qondiriladi (integratsiya sohasining ham, integratsiya funktsiyasining ham chegaralanganligi) Shaxsiy; Ushbu talablar buzilgan integrallar (ya'ni, integratsiya yoki integratsiya sohasi cheksiz yoki ikkalasi ham) sizniki emas. Ushbu bo'limda biz noto'g'ri integrallarni o'rganamiz.
- 12.1. Cheklanmagan oraliqdagi noto'g'ri integrallar (birinchi turdagi noto'g'ri integrallar).
- 12.1.1. Cheksiz oraliqdagi noto'g'ri integralning ta'rifi. Misollar.
- 12.1.2. Noto'g'ri integral uchun Nyuton-Leybnits formulasi.
- 12.1.3. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari.
- 12.1.3.1. Taqqoslash belgisi.
- 12.1.3.2. O'zining ekstremal shaklida taqqoslash belgisi.
- 12.1.4. Noto'g'ri integrallarning cheksiz oraliqda mutlaq yaqinlashuvi.
- 12.1.5. Abel va Dirixlet yaqinlashuvi uchun testlar.
- 12.2. Cheklanmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallari (ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar).
- 12.2.1. Cheklanmagan funksiyaning noto'g'ri integralining ta'rifi.
- 12.2.1.1. Singulyarlik integratsiya oralig'ining chap uchida joylashgan.
- 12.2.1.2. Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash.
- 12.2.1.3. Integratsiya oralig'ining o'ng oxiridagi yagonalik.
- 12.2.1.4. Integratsiya oralig'ining ichki nuqtasida yagonalik.
- 12.2.1.5. Integratsiya oralig'ida bir nechta xususiyatlar.
- 12.2.2. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari.
- 12.2.2.1. Taqqoslash belgisi.
- 12.2.2.2. O'zining ekstremal shaklida taqqoslash belgisi.
- 12.2.3. Uzluksiz funksiyalarning noto'g'ri integrallarining mutlaq va shartli yaqinlashuvi.
- 12.2.4. Abel va Dirixlet yaqinlashuvi uchun testlar.
12.1. Cheklanmagan oraliqdagi noto'g'ri integrallar
(birinchi turdagi noto'g'ri integrallar).
12.1.1. Cheksiz oraliqdagi noto'g'ri integralning ta'rifi. Funktsiyaga ruxsat bering f
(x
) yarim o'qda aniqlanadi va har qanday oraliqda integrallanadi [ dan, bu holatlarning har birida tegishli chegaralarning mavjudligi va chekliligini nazarda tutadi. Endi misollarning yechimlari oddiyroq ko'rinadi: 
.
12.1.3. Salbiy bo'lmagan funktsiyalarni taqqoslash mezonlari. Ushbu bo'limda biz barcha integrallar ta'rifning butun sohasi bo'yicha manfiy emas deb hisoblaymiz. Hozirgacha biz integralning yaqinlashuvini uni hisoblab aniqladik: agar mos keladigan tendentsiya ( yoki ) bo'lgan antihosilning chekli chegarasi bo'lsa, u holda integral yaqinlashadi, aks holda u ajralib chiqadi. Amaliy masalalarni hal qilishda esa, avvalo, yaqinlashuv faktining o'zini aniqlash va shundan keyingina integralni hisoblash muhim (bundan tashqari, antiderivativ ko'pincha elementar funktsiyalarda ifodalanmaydi). Keling, manfiy bo'lmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallarining yaqinlashuvi va divergensiyasini ularni hisoblamasdan o'rnatishga imkon beradigan bir qator teoremalarni tuzamiz va isbotlaymiz.
12.1.3.1. Taqqoslash belgisi. Funktsiyalarga ruxsat bering f
(x
) Va g
(x
) integral
Yuqorida aytib o'tganimdek, integral hisobda kasrni integrallash uchun qulay formula mavjud emas. Va shuning uchun achinarli tendentsiya mavjud: kasr qanchalik murakkab bo'lsa, uning integralini topish shunchalik qiyin bo'ladi. Shu munosabat bilan siz turli xil fokuslarga murojaat qilishingiz kerak, bu haqda men hozir aytib beraman. Tayyorlangan o'quvchilar darhol foyda olishlari mumkin Mundarija:
- Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli
Sun'iy hisoblagichlarni aylantirish usuli
1-misol
Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan integral o'zgaruvchan usulini o'zgartirish orqali ham echilishi mumkin, deb belgilovchi, lekin yechimni yozish ancha uzoq bo'ladi.
2-misol
Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Shuni ta'kidlash kerakki, o'zgaruvchan almashtirish usuli bu erda endi ishlamaydi.
Diqqat, muhim! 1, 2-misollar odatiy va tez-tez uchraydi. Xususan, bunday integrallar ko'pincha boshqa integrallarni yechishda, xususan, irratsional funktsiyalarni (ildizlarni) integrallashda paydo bo'ladi.
Ko'rib chiqilgan texnika bu holatda ham ishlaydi agar hisoblagichning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta bo'lsa.
3-misol
Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.
Numeratorni tanlashni boshlaymiz.
Numeratorni tanlash algoritmi quyidagicha:
1) Numeratorda men tashkil qilishim kerak , lekin u erda . Nima qilish kerak? Men uni qavs ichiga qo'yaman va ga ko'paytiraman: .
2) Endi men bu qavslarni ochishga harakat qilaman, nima bo'ladi? . Hmm ... bu yaxshiroq, lekin dastlab hisoblagichda ikkitasi yo'q. Nima qilish kerak? Siz ko'paytirishingiz kerak:
3) Qavslarni yana ochaman: . Va bu erda birinchi muvaffaqiyat! Bu to'g'ri chiqdi! Ammo muammo shundaki, qo'shimcha atama paydo bo'ldi. Nima qilish kerak? Ifodaning o'zgarishiga yo'l qo'ymaslik uchun men konstruktsiyamga xuddi shunday qo'shishim kerak: 
. Hayot osonlashdi. Numeratorda yana tartibga solish mumkinmi?
4) Bu mumkin. Kel urinib ko'ramiz: 
. Ikkinchi davr qavslarini oching: 
. Kechirasiz, lekin oldingi bosqichda menda bor edi, yo'q. Nima qilish kerak? Ikkinchi shartni quyidagicha ko'paytirish kerak: 
5) Yana tekshirish uchun men qavslarni ikkinchi muddatda ochaman: 
. Endi bu normal: 3-bandning yakuniy qurilishidan olingan! Ammo yana kichik "lekin" qo'shimcha atama paydo bo'ldi, demak men o'z ifodamga qo'shishim kerak: 
Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, biz barcha qavslarni ochganimizda integrandning asl numeratorini olishimiz kerak. Biz tekshiramiz:
Kaput.
Shunday qilib: 
Tayyor. Oxirgi muddatda funktsiyani differentsial ostida yig'ish usulidan foydalandim.
Agar javobning hosilasini topib, ifodani umumiy maxrajga keltirsak, u holda aynan asl integrasiya funksiyasini olamiz. Yig'indiga ajratishning ko'rib chiqilgan usuli ifodani umumiy maxrajga olib kelishning teskari harakatidan boshqa narsa emas.
Bunday misollarda hisoblagichni tanlash algoritmi eng yaxshi qoralama shaklida amalga oshiriladi. Ba'zi ko'nikmalar bilan u aqliy jihatdan ham ishlaydi. Men 11-chi kuch uchun tanlovni amalga oshirganimda rekord darajadagi ishni eslayman va numeratorning kengayishi Verdning deyarli ikki qatorini egalladi.
4-misol
Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.
Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli
Keling, keyingi turdagi kasrlarni ko'rib chiqishga o'tamiz.
, , , (koeffitsientlar va nolga teng emas).
Darsda arksinus va arktangent bilan bir nechta holatlar allaqachon aytib o'tilgan Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli. Bunday misollar funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish va jadval yordamida keyingi integrallash orqali hal qilinadi. Bu erda uzoq va yuqori logarifmlarga ega bo'lgan odatiy misollar mavjud:
5-misol
6-misol
Bu erda integrallar jadvalini olib, qanday formulalar va qanday ekanligini ko'rish tavsiya etiladi Qanaqasiga transformatsiya sodir bo'ladi. Eslatma, qanday va nima uchun Ushbu misollardagi kvadratlar ta'kidlangan. Xususan, 6-misolda biz birinchi navbatda maxrajni shaklda ifodalashimiz kerak 
, keyin uni differentsial belgi ostiga keltiring. Va bularning barchasi standartdan foydalanish uchun bajarilishi kerak jadvalli formula 
.
Nima uchun qarang, 7, 8-misollarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, ayniqsa ular juda qisqa:
7-misol
8-misol
Noaniq integralni toping:
Agar siz ham ushbu misollarni tekshirishga muvaffaq bo'lsangiz, unda katta hurmat - sizning farqlash qobiliyatingiz juda yaxshi.
To'liq kvadrat tanlash usuli
Shaklning integrallari 
(koeffitsientlar va nolga teng emas) yechiladi to'liq kvadrat qazib olish usuli, bu allaqachon darsda paydo bo'lgan Grafiklarning geometrik o'zgarishlari.
Aslida, bunday integrallar biz ko'rib chiqqan to'rtta jadvalli integraldan biriga kamayadi. Va bunga tanish qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida erishiladi:
Formulalar aynan shu yo'nalishda qo'llaniladi, ya'ni usulning g'oyasi iboralarni yoki maxrajda sun'iy ravishda tartibga solish va keyin ularni mos ravishda har biriga aylantirishdir.
9-misol
Noaniq integralni toping
Bu eng oddiy misol muddatli - birlik koeffitsienti bilan(va ba'zi bir raqam yoki minus emas).
Keling, denominatorga qaraylik, bu erda hamma narsa tasodifga bog'liq. Keling, denominatorni aylantirishni boshlaylik:
Shubhasiz, siz 4 qo'shishingiz kerak. Va ifoda o'zgarmasligi uchun bir xil to'rttasini ayiring:
Endi siz formulani qo'llashingiz mumkin:
Konvertatsiya tugagandan so'ng DOIM Teskari harakatni bajarish tavsiya etiladi: hamma narsa yaxshi, hech qanday xatolik yo'q.
Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak: 
Tayyor. Xulosa qilish "bepul" murakkab funktsiya differensial belgisi ostida: , asosan, e'tibordan chetda qolishi mumkin
10-misol
Noaniq integralni toping:
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol, javob dars oxirida
11-misol
Noaniq integralni toping:
Oldinda minus bo'lsa nima qilish kerak? Bunday holda, biz qavs ichidan minusni olib tashlashimiz va shartlarni bizga kerak bo'lgan tartibda joylashtirishimiz kerak: . Doimiy(bu holda ikkita) tegmang!
Endi biz qavs ichida birini qo'shamiz. Ifodani tahlil qilib, biz qavslar tashqarisida bittasini qo'shishimiz kerak degan xulosaga keldik:
Bu erda biz formulani olamiz, amal qiling:
DOIM Biz loyihani tekshiramiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.
Toza misol shunday ko'rinadi: 
Vazifani qiyinlashtirish
12-misol
Noaniq integralni toping: 
Bu erda atama endi birlik koeffitsienti emas, balki "besh" dir.
(1) Agar doimiy qiymat bo'lsa, biz uni darhol qavsdan chiqaramiz.
(2) Umuman olganda, bu doimiy to'sqinlik qilmasligi uchun integraldan tashqariga ko'chirish har doim yaxshiroqdir.
(3) Shubhasiz, hamma narsa formulaga tushadi. Biz atamani tushunishimiz kerak, ya'ni "ikki" ni olishimiz kerak.
(4) Ha, . Bu shuni anglatadiki, biz ifodaga qo'shamiz va bir xil kasrni ayitamiz.
(5) Endi to'liq kvadratni tanlang. Umumiy holatda, biz ham hisoblashimiz kerak , lekin bu erda biz uzun logarifm uchun formulaga egamiz 
, va harakatni bajarishning ma'nosi yo'q; nima uchun quyida aniq bo'ladi.
(6) Aslida, biz formulani qo'llashimiz mumkin 
, faqat "X" o'rniga bizda mavjud bo'lib, bu jadval integralining haqiqiyligini inkor etmaydi. To'g'risini aytganda, bir qadam o'tkazib yuborildi - integratsiyadan oldin funktsiya differentsial belgi ostida qabul qilinishi kerak edi: 
, lekin, men bir necha bor ta'kidlaganimdek, bu ko'pincha e'tibordan chetda.
(7) Ildiz ostidagi javobda barcha qavslarni orqaga kengaytirish tavsiya etiladi:
Qiyinmi? Bu integral hisobning eng qiyin qismi emas. Garchi ko'rib chiqilayotgan misollar unchalik murakkab emas, chunki ular yaxshi hisoblash texnikasini talab qiladi.
13-misol
Noaniq integralni toping:
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Javob dars oxirida.
Maxrajda ildizlari bo'lgan integrallar mavjud bo'lib, ular almashtirish yordamida ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarga keltiriladi; ular haqida maqolada o'qishingiz mumkin. Kompleks integrallar, lekin u juda tayyor talabalar uchun mo'ljallangan.
Numeratorni differentsial belgi ostida yig'ish
Bu darsning yakuniy qismi, ammo bu turdagi integrallar juda keng tarqalgan! Agar charchagan bo'lsangiz, ertaga o'qiganingiz yaxshiroqmi? ;)
Biz ko'rib chiqadigan integrallar oldingi paragrafning integrallariga o'xshaydi, ular quyidagi shaklga ega: yoki 
(koeffitsientlar , va nolga teng emas).
Ya'ni, bizda endi numeratorda chiziqli funktsiya mavjud. Bunday integrallarni qanday yechish mumkin?