«Физика - 11 класс»
1
.
При электромагнитных колебаниях происходят периодические изменения электрического заряда, силы тока и напряжения. Электромагнитные колебания подразделяются на свободные, затухающие, вынужденные и автоколебания.
2
.
Простейшей системой, в которой наблюдаются свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур. Он состоит из проволочной катушки и конденсатора.
Свободные электромагнитные колебания возникают при разрядке конденсатора через катушку индуктивности.
Вынужденные колебания вызываются периодической ЭДС.
В колебательном контуре энергия электрического поля заряженного конденсатора периодически переходит в энергию магнитного поля тока.
При отсутствии сопротивления в контуре полная энергия электромагнитного поля остается неизменной.
3
.
Электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но описываются одинаковыми уравнениями.
Уравнение, описывающее электромагнитные колебания в контуре, имеет вид
где
q
- заряд конденсатора
q"
- вторая производная заряда по времени;
ω 0 2
- квадрат циклической частоты колебаний, зависящей от индуктивности L
и емкости С
.
4
.
Решение уравнения, описывающего свободные электромагнитные колебания, выражается либо через косинус, либо через синус:
q = q m cos ω 0 t или q = q m sin ω 0 t .
5
.
Колебания, происходящие по закону косинуса или синуса, называются гармоническими.
Максимальное значение заряда q m
на обкладках конденсатора называется амплитудой колебаний заряда.
Величина ω 0
называется циклической частотой колебаний и выражается через число v
колебаний в секунду: ω 0 = 2πv
.
Период колебаний выражается через циклическую частоту следующим образом:
Величину, стоящую под знаком косинуса или синуса в решении для уравнения свободных колебаний, называют фазой колебаний.
Фаза определяет состояние колебательной системы в данный момент времени при заданной амплитуде колебаний.
6
.
Из-за наличия у контура сопротивления колебания в нем с течением времени затухают.
7
Вынужденные колебания, т. е. переменный электрический ток, возникают в цепи под действием внешнего периодического напряжения.
Между колебаниями напряжения и силы тока в общем случае наблюдается сдвиг фаз φ.
В промышленных цепях переменного тока сила тока и напряжение меняются гармонически с частотой v = 50 Гц.
Переменное напряжение на концах цепи создается генераторами на электростанциях.
8
.
Мощность в цепи переменного тока определяется действующими значениями силы тока и напряжения:
Р = IU cos φ .
9
.
Сопротивление цепи с конденсатором обратно пропорционально произведению циклической частоты на электроемкость.
10
.
Катушка индуктивности оказывает сопротивление переменному току.
Это сопротивление, называемое индуктивным, равно произведению циклической частоты на индуктивность.
ωL = Х L
11
.
При вынужденных электромагнитных колебаниях возможен резонанс - резкое возрастание амплитуды силы тока при вынужденных колебаниях при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.
Резонанс выражен отчетливо лишь при достаточно малом активном сопротивлении контура.
Одновременно с возрастанием силы тока при резонансе происходит резкое увеличение напряжения на конденсаторе и катушке. Явление электрического резонанса используется при радиосвязи.
12
.
Автоколебания возбуждаются в колебательном контуре генератора на транзисторе за счет энергии источника постоянного напряжения.
В генераторе используется транзистор, т. е. полупроводниковое устройство, состоящее из эмиттера, базы и коллектора и имеющее два р-n-перехода. Колебания тока в контуре вызывают колебания напряжения между эмиттером и базой, которые управляют силой тока в цепи колебательного контура (обратная связь).
От источника напряжения в контур поступает энергия, компенсирующая потери энергии в контуре на резисторе.
Под электрическими колебаниями понимают периодические изменения заряда, силы тока и напряжения. Простейшая система, в которой возможны свободные электрические колебания, - это так называемый колебательный контур. Это устройство, состоящее из соединенных между собой конденсатора и катушки. Будем полагать, что активное сопротивление катушки отсутствует, в этом случае контур называют идеальным. При сообщении этой системе энергии в ней будут происходить незатухающие гармонические колебания заряда на конденсаторе, напряжения и тока.
Сообщить колебательному контуру энергию можно разными способами. Например, зарядив конденсатор от источника постоянного тока или возбудив ток в катушке индуктивности. В первом случае энергией обладает электрическое поле между обкладками конденсатора. Во втором, энергия заключена в магнитном поле тока, текущего по цепи.
§1 Уравнение колебаний в контуре
Докажем, что при сообщении контуру энергии в нем будут происходить незатухающие гармонические колебания. Для этого необходимо получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида .
Допустим, конденсатор зарядили и замкнули на катушку. Конденсатор начнет разряжаться, по катушке потечет ток. Согласно второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС в этом контуре .
В нашем случае падение напряжения поскольку контур идеальный. Конденсатор в цепи ведет себя как источник тока, в качестве ЭДС выступает разность потенциалов между обкладками конденсатора , где - заряд на конденсаторе, - электроемкость конденсатора. Кроме того, при протекании через катушку изменяющегося тока в ней возникает ЭДС самоиндукции , где - индуктивность катушки, - скорость изменения тока в катушке. Поскольку ЭДС самоиндукции препятствует процессу разрядки конденсатора второй закон Кирхгофа принимает вид
Но ток в контуре – это ток разрядки или зарядки конденсатора, следовательно . Тогда
Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
Введя обозначение , получим известное нам дифференциальное уравнение гармонических колебаний .
Это означает, что заряд на конденсаторе в колебательном контуре будет изменяться по гармоническому закону
где - максимальное значение заряда на конденсаторе, - циклическая частота, - начальная фаза колебаний.
Период колебаний заряда . Это выражение носит название формулы Томпсона.
Напряжение на конденсаторе
Ток в цепи
Видим, что кроме заряда на конденсаторе по гармоническому закону будут изменять еще ток в контуре и напряжение на конденсаторе. Напряжение колеблется в одной фазе с зарядом, а сила тока опережает заряд по
фазе на .
Энергия электрического поля конденсатора
Энергия магнитного поля тока
Таким образом, энергии электрического и магнитного полей тоже изменяются по гармоническому закону, но с удвоенной частотой.
Подведем итог
Под электрическими колебаниями следует понимать периодические изменения заряда, напряжения, силы тока, энергии электрического поля, энергии магнитного поля. Эти колебания, как и механические, могут быть как свободными, так и вынужденными, гармоническим и негармоническим. Свободные гармонические электрические колебания возможны в идеальном колебательном контуре.
§2 Процессы, происходящие в колебательном контуре
Мы математически доказали факт существования свободных гармонических колебаний в колебательном контуре. Однако, остается неясным, почему такой процесс возможен. Что является причиной возникновения колебаний в контуре?
В случае свободных механических колебаний такая причина была найдена – это внутренняя сила, возникающая при выведении системы из по- ложения равновесия. Эта сила в любой момент направлена к положению равновесия и пропорциональна координате тела (со знаком «минус»). Попробуем найти аналогичную причину возникновения колебаний в колебательном контуре.
Пусть колебания в контуре возбуждают, зарядив конденсатор и замкнув его на катушку.
В начальный момент времени заряд на конденсаторе максимален. Следовательно, напряжение и энергия электрического поля конденсатора тоже максимальны.
Ток в контуре отсутствует, энергия магнитного поля тока равна нулю.
Первая четверть периода – разрядка конденсатора.
Обкладки конденсатора, имеющие разные потенциалы, соединили проводником, поэтому конденсатор начинает разряжаться через катушку. Заряд, напряжение на конденсаторе и энергия электрического поля убывают.
Ток, появившийся в цепи, нарастает, однако, его нарастанию препятствует ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке. Энергия магнитного поля тока увеличивается.
Прошла четверть периода - конденсатор разрядился.
Конденсатор разрядился, напряжение на нем стало равным нулю. Энергия электрического поля в этот момент тоже равна нулю. По закону сохранения энергии исчезнуть она не могла. Энергия поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки, которая в этот момент достигает своего максимального значения. Максимален ток в цепи.
Казалось бы, в этот момент ток в цепи должен прекратиться, ибо исчезла причина возникновения тока – электрическое поле. Однако, исчезновению тока опять таки препятствует ЭДС самоиндукции в катушке. Теперь она будет поддерживать убывающий ток, и он будет продолжать течь в прежнем направлении, заряжая конденсатор. Начинается вторая четверть периода.
Вторая четверть периода – перезарядка конденсатора.
Ток, поддерживаемый ЭДС самоиндукции, продолжает течь в прежнем направлении, постепенно уменьшаясь. Этот ток заряжает конденсатор в противоположной полярности. Заряд и напряжение на конденсаторе увеличиваются.
Энергия магнитного поля тока, убывая, переходит в энергию электрического поля конденсатора.
Прошла вторая четверть периода – конденсатор перезарядился.
Конденсатор перезаряжается до тех пор, пока существует ток. Поэтому в тот момент, когда ток прекращается, заряд и напряжение на конденсаторе принимают максимальное значение.
Энергия магнитного поля в этот момент полностью перешла в энергию электрического поля конденсатора.
Ситуация в контуре в этот момент, эквивалентна исходной. Процессы в контуре повторятся, но в обратном направлении. Одно полное колебание в контуре, длящееся в течение периода, закончится, когда система вернется в исходное состояние, то есть когда конденсатор перезарядится в первоначальной полярности.
Нетрудно видеть, что причиной возникновения колебаний в контуре служит явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока: она не дает ему мгновенно нарастать и мгновенно исчезать.
Кстати, будет не лишним сопоставить выражения для расчета квазиупругой силы в механической колебательной системе и ЭДС самоиндукции в контуре:
Ранее были получены дифференциальные уравнения для механической и электрической колебательной систем:
Несмотря на принципиальные отличия физических процессов к механических и электрических колебательных системах, явно просматривается математическая тождественность уравнений, описывающих процессы в этих системах. Об этом следует поговорить подробнее.
§3 Аналогия между электрическими и механическими колебаниями
Внимательный анализ дифференциальных уравнений для пружинного маятника и колебательного контура, а так же формул, связывающих величины, характеризующих процессы в этих системах, позволяет выявить, какие величины ведут себя одинаково (таблица 2).
| Пружинный маятник | Колебательный контур |
| Координата тела () | Заряд на конденсаторе () |
| Скорость тела | Сила тока в контуре |
| Потенциальная энергия упруго деформированной пружины | Энергия электрического поля конденсатора |
| Кинетическая энергия груза | Энергия магнитного поля катушки с током |
| Величина, обратная жесткости пружины | Емкость конденсатора |
| Масса груза | Индуктивность катушки |
| Сила упругости | ЭДС самоиндукции, равная напряжению на конденсаторе |
Таблица 2
Важно не просто формальное сходство между величинами, описывающими процессы колебания маятника и процессы в контуре. Тождественны сами процессы!
Крайние положения маятника эквивалентны состоянию контура, когда заряд на конденсаторе максимален.
Положение равновесия маятника эквивалентно состоянию контура, когда конденсатор разряжен. В этот момент сила упругости обращается в ноль, а в контуре отсутствует напряжение на конденсаторе. Скорость маятника и сила тока в контуре максимальны. Потенциальная энергия упругой деформации пружины и энергия электрического поля конденсатора равны нулю. Энергия системы состоит из кинетической энергии груза или из энергии магнитного поля тока.
Разрядка конденсатора протекает аналогично движению маятника из крайнего положения в положение равновесия. Процесс перезарядки конденсатора тождественен процессу удаления груза из положения равновесия в крайнее положение.
Полная энергия колебательной системы или остается неизменной с течением времени.
Подобная аналогия может быть прослежена не только между пружинным маятником и колебательным контуром. Всеобщи закономерности свободных колебаний любой природы! Эти закономерности, проиллюстрированные на примере двух колебательных систем (пружинном маятнике и колебательном контуре) не просто можно, а нужно видеть в колебаниях любой системы.
В принципе, можно решить задачу о любом колебательном процессе, заменив его колебаниями мятника. Для этого достаточно грамотно построить эквивалентную механическую систему, решить механическую задачу и провести замену величин в окончательном результате. Например, нужно найти период колебаний в контуре, содержащем конденсатор и две катушки, соединенные параллельно.
Колебательный контур содержит один конденсатор и две катушки. Поскольку катушка ведет себя как груз пружинного маятника, а конденсатор как пружина, то эквивалентная механическая система должна содержать одну пружину и два груза. Вся проблема в том, как грузы прикреплены к пружине. Возможны два случая: один конец пружины закреплен, а к свободному концу прикреплен один груз, второй находится на первом или грузы прикреплены к разным концам пружины.
При параллельном соединении катушек разной индуктивности токи по ним текут разные. Следовательно, скорости грузов в тождественной механической системе тоже должны быть разными. Очевидно, это возможно лишь во втором случае.
Период этой колебательной системы нами уже найден. Он равен . Заменяя массы грузов на индуктивности катушек, а величину, обратную жесткости пружины, на емкость конденсатора, получаем .
§4 Колебательный контур с источником постоянного тока
Рассмотрим колебательный контур, содержащий источник постоянного тока. Пусть конденсатор первоначально не заряжен. Что будет происходить в системе после замыкания ключа К? Будут ли в этом случае наблюдаться колебания и какова их частота и амплитуда?
Очевидно, после замыкания ключа конденсатор начнет заряжаться. Записываем второй закон Кирхгофа:
Ток в контуре – это ток зарядки конденсатора, следовательно . Тогда . Дифференциальное уравнение преобразуется к виду
*Решаем уравнение заменой переменных.
Обозначим . Дифференцируем дважды и с учетом того, что , получаем . Дифференциальное уравнение приобретает вид
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решением является функция
где - циклическая частота, константы интегрирования и находятся из начальных условий.
Заряд на конденсаторе меняется по закону
Сразу после замыкания ключа заряд на конденсаторе равен нулю и ток в контуре отсутствует . С учетом начальных условий получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем и . После замыкания ключа заряд на конденсаторе изменяется по закону .
Нетрудно видеть, что в контуре происходят гармонические колебания. Наличие в контуре источника постоянного тока не повлияло на частоту колебаний, она осталась равной . Изменилось «положение равновесия» - в тот момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор заряжен. Амплитуда колебаний заряда на конденсаторе равна Cε.
Этот же результат можно получить проще, используя аналогию между колебаниями в контуре и колебаниями пружинного маятника. Источник постоянного тока эквивалентен постоянному силовому полю, в которое помещен пружинный маятник, например, полю тяготения. Отсутствие заряда на конденсаторе в момент замыкания цепи тождественно отсутствию деформации пружины в момент приведения маятника в колебательное движение.
В постоянном силовом поле период колебаний пружинного маятника не изменяется. Период колебаний в контуре ведет себя так же – он остается неизменным при введении в контур источника постоянного тока .
В положении равновесия, когда скорость груза максимальна, пружина деформирована:
Когда ток в колебательном контуре максимален . Второй закон Кирхгофа запишется следующим образом
В этот момент заряд на конденсаторе равен Этот же результат можно было получить на основании выражения (*), выполнив замену
§5 Примеры решения задач
Задача 1 Закон сохранения энергии
L = 0,5 мкГн и конденсатора емкостью С = 20 пФ происходят электрические колебания. Чему равно максимальное напряжение на конденсаторе, если амплитуда тока в контуре 1 мА? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
2 В тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально (максимален заряд на конденсаторе), ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
3 В момент, когда ток в цепи максимален, конденсатор полностью разряжен. Полная энергия системы состоит только из энергии магнитного поля катушки
4 На основании выражений (1), (2), (3) получаем равенство . Максимальное напряжение на конденсаторе равно
Задача 2 Закон сохранения энергии
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С, происходят электрические колебания с периодом Т = 1 мкс. Максимальное значение заряда . Чему равен ток в контуре в тот момент, когда заряд на конденсаторе равен ? Активное сопротивление катушки пренебрежимо мало.
Решение:
1 Поскольку активным сопротивлением катушки можно пренебречь, полная энергия системы, состоящая из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, остается неизменной с течением времени:
2 В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, ток в цепи отсутствует. Полная энергия системы состоит только из энергии электрического поля конденсатора
3 На основании (1) и (2) получаем равенство . Ток в контуре равен .
4 Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона . Отсюда . Тогда для тока в контуре получаем
Задача 3 Колебательный контур с двумя параллельно соединенными конденсаторами
В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью С, происходят электрические колебания с амплитудой заряда . В тот момент, когда заряд на конденсаторе максимален, замыкают ключ К. Каким станет период колебаний в контуре после замыкания ключа? Чему равна амплитуда тока в контуре после замыкания ключ? Омическим сопротивлением контура пренебречь.
Решение:
1 Замыкание ключа приводит к появлению в контуре еще одного конденсатора, подключенного параллельно первому. Общая емкость двух параллельно соединенных конденсаторов равна .
Период колебаний в контуре зависит только от его параметров и не зависит от того, как в системе возбудили колебания и какую энергию сооб- щили системе для этого. Согласно формуле Томсона .
2 Для нахождения амплитуды тока выясним, какие процессы происходят в контуре после замыкания ключа.
Второй конденсатор подключили в тот момент, когда заряд на первом конденсаторе был максимален, следовательно, ток в контуре отсутствовал.
Контурный конденсатор должен начать разряжаться. Ток разрядки, дойдя до узла, должен бы разделиться на две части. Однако, в ветви с катушкой, возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая нарастанию тока разрядки. По этой причине весь ток разрядки потечет в ветвь с конденсатором, омическое сопротивление которой равно нулю. Ток прекратится, как только сравняются напряжения на конденсаторах, при этом первоначальный заряд конденсатора перераспределится между двумя конденсаторами. Время перераспределения заряда между двумя конденсаторами ничтожно мало вследствие отсутствия омического сопротивления в ветвях с конденсаторами. За это время ток в ветви с катушкой возникнуть не успеет. Колебания в новой системе продолжатся уже после перераспределения заряда между конденсаторами.
Важно понять, что в процессе перераспределения заряда между двумя конденсаторами энергия системы не сохраняется! До замыкания ключа энергией обладал один конденсатор, контурный:
После перераспределения заряда энергией обладает батарея конденсаторов:
Нетрудно видеть, что энергия системы уменьшилась!
3 Новую амплитуду тока найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии. В процессе колебаний энергия батареи конденсаторов переходит в энергию магнитного поля тока:
Обратите внимание, закон сохранения энергии начинает «работать» только после завершения перераспределения заряда между конденсаторами.
Задача 4 Колебательный контур с двумя последовательно соединенными конденсаторами
Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и двух последовательно соединенных конденсаторов С и 4С. Конденсатор емкостью С заряжен до напряжения , конденсатор емкостью 4С не заряжен. После замыкания ключа в контуре начинаются колебания. Чему равен период этих колебаний? Определите амплитуду тока, максимальное и минимальное значения напряжения на каждом конденсаторе.
Решение:
1 В момент, когда ток в цепи максимален, ЭДС самоиндукции в катушке отсутствует . Записываем для этого момента второй закон Кирхгофа
Видим, что в тот момент, когда ток в контуре максимален, конденсаторы заряжены до одинакового напряжения, но в противоположной полярности:
2 До замыкания ключа полная энергия системы состояла только из энергии электрического поля конденсатора С:
В момент, когда ток в цепи максимален, энергия системы складывается из энергии магнитного поля тока и энергии двух заряженных до одинакового напряжения конденсаторов:
Согласно закону сохранения энергии
Для нахождения напряжения на конденсаторах воспользуемся законом сохранения заряда – заряд нижней обкладки конденсатора С частично перешел на верхнюю обкладку конденсатора 4С:
Подставляем найденное значение напряжения в закон сохранения энергии и находим амплитуду тока в контуре:
3 Найдем, в каких пределах изменяется напряжение на конденсаторах в процессе колебаний.
Понятно, что в момент замыкания цепи на конденсаторе С было максимальное напряжение . Конденсатор 4С был не заряжен, следовательно, .
После замыкания ключа конденсатор С начинает разряжаться, а конденсатор емкостью 4С – заряжаться. Процесс разрядки первого и зарядки второго конденсаторов заканчивается, как только прекращается ток в цепи. Это произойдет через половину периода. Согласно законам сохранения энергии и электрического заряда:
Решая систему, находим:
Знак «минус» означает, что через полпериода конденсатор емкости С заряжен в полярности, обратной первоначальной.
Задача 5 Колебательный контур с двумя последовательно соединенным катушками
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С и двух катушек индуктивностью L 1 и L 2 . В тот момент, когда ток в контуре принял максимальное значение , в первую катушку быстро (по сравнению с периодом колебаний) вносят железный сердечник, что приводи к увеличению ее индуктивности в μ раз. Чему равна амплитуда напряжения в процессе дальнейших колебаний в контуре?
Решение:
1 При быстром внесении сердечника в катушку должен сохраниться магнитный поток (явление электромагнитной индукции). Поэтому быстрое изменение индуктивности одной из катушек приведет к быстрому изменению тока в контуре.
2 За время внесения сердечника в катушку заряд на конденсаторе измениться не успел, он остался незаряженным (сердечник вносили в тот момент, когда ток в цепи был максимален). Через четверть периода энергия магнитного поля тока перейдет в энергию заряженного конденсатора:
Подставляем в полученное выражение значение тока I и находим амплитуду напряжения на конденсаторе:
Задача 6 Колебательный контур с двумя параллельно соединенным катушками
Катушки индуктивности L 1 и L 2 подключены через ключи К1 и К2 к конденсатору емкостью С. В начальный момент оба ключа разомкнуты, а конденсатор заряжен до разности потенциалов . Сначала замыкают ключ К1 и, когда напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают К2. Определите максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания К2. Сопротивлениями катушек пренебречь.
Решение:
1 При разомкнутом ключе К2 в контуре, состоящем из конденсатора и первой катушки, происходят колебания. К моменту замыкания К2 энергия конденсатора перешла в энергию магнитного поля тока в первой катушке :
2 После замыкания К2 в колебательном контуре оказываются две катушки, соединенные параллельно.
Ток в первой катушке не может прекратиться вследствие явления самоиндукции. В узле он делится: одна часть тока идет во вторую катушку, а другая заряжает конденсатор .
3 Напряжение на конденсаторе станет максимальным, когда прекратится ток I , заряжающий конденсатор. Очевидно, что в этот момент токи в катушках сравняются .
:Маятник двигается поступательно со скоростью центра масс и совершает колебания относительно центра масс.
Сила упругости максимальна в момент максимальной деформации пружины. Очевидно, в этот момент относительная скорость грузов становится равной нулю, а относительно стола грузы двигаются со скоростью центра масс. Записываем закон сохранения энергии:
Решая систему, находим
Производим замену
и получаем для максимального напряжения найденное ранее значение
§6 Задания для самостоятельного решения
Упражнение1 Расчет периода и частоты собственных колебаний
1 В колебательный контур входят катушка переменной индуктивности, изменяющаяся в пределах L 1 = 0,5 мкГн до L 2 = 10 мкГн, и конденсатор, емкость которого может изменяться в пределах от С 1 = 10 пФ до
С 2 =500 пФ. Какой диапазон частот можно охватить настройкой этого контура?
2 Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если его индуктивность увеличить в 10 раз, а емкость уменьшить в 2,5 раза?
3 Колебательный контур с конденсатором емкость 1 мкФ настроен на частоту 400 Гц. Если подключить к нему параллельно второй конденсатор, то частота колебаний в контуре становится равной 200 Гц. Определите емкость второго конденсатора.
4 Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора. Во сколько раз изменится частота собственных колебаний в контуре, если в контур последовательно включить второй конденсатор, емкость которого в 3 раза меньше емкости первого?
5 Определите период колебаний контура, в состав которого входит катушка (без сердечника) длины в = 50 см м площади поперечного сечения
S = 3 cм 2 , имеющая N = 1000 витков, и конденсатора емкости С = 0,5 мкФ.
6 В состав колебательного контура входит катушка индуктивности L = 1,0 мкГн и воздушный конденсатор, площади пластин которого S = 100 cм 2 . Контур настроен на частоту 30 МГц. Определите расстояние между пластинами. Активное сопротивление контура пренебрежимо мало.
План лекции
1. Колебательные контуры. Квазистационарные токи.
2. Собственные электрические колебания.
2.1. Собственные незатухающие колебания.
2.2. Собственные затухающие колебания.
3. Вынужденные электрические колебания.
3.1. Сопротивление в цепи переменного тока.
3.2. Ёмкость в цепи переменного тока.
3.3. Индуктивность в цепи переменного тока.
3.4. Вынужденные колебания. Резонанс.
3.5. Проблема косинуса фи.
Колебательные контуры. Квазистационарные токи.
Колебания электрических величин - заряда, напряжения, тока - можно наблюдать в цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления (R ), ёмкости (C ) и катушки индуктивности (L ) (рис. 11.1).
Рис. 11.1.
При положении 1 переключателя К , конденсатор заряжается от источника.
Если теперь переключить его в положение 2, то в цепи RLC возникнут колебания с периодомT , аналогичные колебаниям груза на пружине.
Колебания, происходящие только за счёт
внутренних энергетических ресурсов
системы, называются собственными.
Первоначально энергия была сообщена
конденсатору и локализована в
электростатическом поле. При замыкании
конденсатора на катушку, в цепи появляется
разрядный ток, а в катушке - магнитное
поле. Э.д.с. самоиндукции катушки будет
препятствовать мгновенной разрядке
конденсатора. Через четверть периода
конденсатор полностью разрядится, но
ток будет продолжать течь, поддерживаемый
электродвижущей силой самоиндукции. К
моменту
эта э.д.с. перезарядит конденсатор. Ток
в контуре и магнитное поле уменьшатся
до нуля, заряд на обкладках конденсатора
достигнет максимального значения.
Эти колебания электрических величин в контуре будут происходить неограниченно долго, если сопротивление контура R = 0. Такой процесс называютсобственные незатухающие колебания . Подобные колебания мы наблюдали и в механической колебательной системе, когда в ней отсутствует сила сопротивления. Если сопротивлением резистораR (силой сопротивления в механическом осцилляторе) пренебречь нельзя, то в подобных системах будут происходитьсобственные затухающие колебания .
На графиках рис. 11.2. представлены зависимости заряда конденсатора от времени в случае незатухающих (а ) и затухающих (б ,в ,г ) колебаний. Характер затухающих колебаний меняется с увеличением сопротивления резистораR . Когда сопротивление превысит определённоекритическое значениеR к, колебания в системе не возникают. Происходит монотонный апериодический разряд конденсатора (рис. 11.2.г .).
Рис. 11.2.
Прежде, чем перейти к математическому анализу колебательных процессов, сделаем одно важное замечание. При составлении уравнений колебаний мы будем пользоваться правилами Кирхгофа (законами Ома), которые справедливы, строго говоря, для постоянного тока. Но в колебательных системах ток меняется во времени. Однако, и в этом случае можно воспользоваться этими законами для мгновенного значения тока, если скорость изменения тока не слишком высока. Такие токи называются квазистационарными («квази» (лат.) - как будто). Но что значит скорость «слишком» или «не слишком» высока? Если ток изменится на некотором участке цепи, тот импульс этого изменения достигнет самой дальней точки контура спустя время:
.
Здесь l - характерный размер контура, ас - скорость света, с которой сигнал распространяется в цепи.
Скорость изменения тока считается не слишком высокой, а ток квазистационарным, если:
,
где Т - период изменения, тот есть характерное время колебательного процесса.
Например, для цепи длиной 3 м запаздывание
сигнала составит ==
= 10 ‑8 с. То есть переменный ток
в этой цепи можно считать квазистационарным,
если его период более10 –6 с, что соответствует частоте=
10 6 Гц. Таким
образом, для частот 010 6 Гц в рассматриваемой цепи могут
быть использованы правила Кирхгофа для
мгновенных значений тока и напряжений.
Электрические колебания и электромагнитные волны
Колебательные изменения в электрической цепи величин заряда, тока или напряжения называют электрическими колебаниями. Переменные электрический ток является одним из видов электрических колебаний.
Электрические колебания высокой частоты получают в большинстве случаев с помощью колебательного контура.
Колебательный контур представляет замкнутую цепь, состоящую из индуктивности L и емкости C .
Период собственных колебаний контура:
а ток в контуре изменяется но закону затухающих колебаний:
При воздействии на колебательный контур переменной ЭДС в контуре устанавливаются вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний тока при постоянных значениях L , C , R зависит от отношения собственной частоты колебаний контура и частоты изменения синусоидальной ЭДС (рис.1).
Согласно закону Био–Савара–Лапласа ток проводимости создает магнитное поле с замкнутыми силовыми линиями. Такое поле называется вихревым .
Переменный ток проводимости создает переменное магнитное поле. Переменный ток в отличие от постоянного проходит через конденсатор; но этот ток не является током проводимости; он называется током смещении . Ток смещения представляет собой изменяющееся но времени электрическое поле; он создает переменное магнитное поле, как и переменный ток проводимости. Плотность тока смещения:
В каждой точке пространства изменение во времени индукции электрического поля создает переменное вихревое магнитное поле (рис.2а). Векторы B возникающего магнитного ноля лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору D . Математическое уравнение, выражающее эту закономерность, называется первым уравнением Максвелла .
При электромагнитной индукции возникает электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями (вихревое ноле), которое проявляется как ЭДС индукции. В каждой точке пространства изменение во времени вектора индукции магнитного поля создает переменное вихревое электрическое поле (рис.2б). Векторы D возникающего электрического поля лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору B . Математическое уравнение, описывающее эту закономерность, называется вторым уравнением Максвелла .
Совокупность переменных электрических и магнитных полей, которые неразрывно связаны друг с другом, называется электромагнитным полем.
Из уравнений Максвелла следует, что возникшее в какой-либо точке изменение во времени электрического (или магнитного) поля будет перемещаться от одной точки к другой, при этом будут происходить взаимные превращения электрических и магнитных полей.
Электромагнитные волны представляют собой процесс одновременного распространения в пространстве изменяющихся электрического и магнитного полей. Векторы напряженностей электрического и магнитного полей (E и H ) к электромагнитной волне перпендикулярны друг к другу, а вектор v скорости распространения перпендикулярен к плоскости, в которой лежат оба вектора E и H (рис.3), Это справедливо при распространении электромагнитных волн и неограниченном пространстве.
Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от длины волны и равна
Скорость электромагнитных волн в различных средах меньше скорости в вакууме.
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания .
Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.
Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы
Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур .
Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C , катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R
Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.
Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε . Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L . При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер
Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.
Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими , т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).
Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).
Если зарядить конденсатор до напряжения U 0 то в начальный момент времени t 1 =0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U 0 и заряда q 0 = CU 0 .
Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W эл:
Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции
Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I 0 в момент времени t 2 =T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.
По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W м:
В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t 3 =T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q 0 , напряжение тоже равно первоначальному U = U 0 , а ток в контуре равен нулю I = 0.
Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.
График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.
В любой момент времени полная энергия:
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.
Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t ) конденсатора и смещения x (t ) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t ) и скорости груза υ(t ) за один период колебаний.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими , то есть происходят по закону
q (t ) = q 0 cos(ωt + φ 0)
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний - формула Томпсона
Амплитуда q 0 и начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями , то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.
Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:
Для конденсатора:
q (t ) = q 0 cosω 0 t
U (t ) = U 0 cosω 0 t
Для катушки индуктивности:
i (t ) = I 0 cos(ω 0 t + π/2)
U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Вспомомним основные характеристики колебательного движения :
q 0, U 0 , I 0 - амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины
Т - период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется
ν - Частота – число колебаний в единицу времени
ω - Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд
φ - фаза колебаний - величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.