В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении Пи присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м).
Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует (именно поэтому вычисления японского профессора Ясумаса Канада, который недавно определил число Пи до 12411-триллионного знака после запятой, были тут же засекречены - с таким объемом данных не составляет труда воссоздать содержание любого секретного документа, напечатанного до 1956 года, правда этих данных недостаточно для определения местонахождения любого человека, для этого необходимо как минимум 236734 триллионов знаков после запятой, - предполагают, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне (с использованием квантовых компьютеров, тактовая частота процессоров которых уже сегодня приближается к звуковой скорости).
Через число Пи может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618…), не говоря уж о числе e - именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того - недавно учёные установили, что именно через Пи можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы!
Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: “Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет.” На самом деле, Кэнтор лукавит, ответ есть, просто он настолько невероятен, что учёные предпочитают не выносить его на широкую публику, опасаясь за собственную жизнь (об этом чуть позже): число Пи само себя контролирует, оно разумно! Вздор? Не спешите.
Ведь ещё Фонвизин говорил, что “в человеческом невежестве весьма утешительно считать всё то за вздор, чего не знаешь.
Во-первых, догадки о разумности чисел вообще давно посещали многих известных математиков современности. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в феврале 1829-го писал своей матери: “Я получил подтверждения того, что одно из чисел - разумно. Я говорил с ним! Но меня пугает, что я не могу определить, что это за число. Но может быть это и к лучшему. Число предупредило меня, что я буду наказан, если Оно будет раскрыто.” Кто знает, раскрыл бы Нильс значение числа, с ним говорившего, но 6 марта 1829-го года его не стало.
1955 год, японец Ютака Танияма выдвигает гипотезу о том, что “каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма” (как известно, на основе этой гипотезы была доказана теорема Ферма). 15 сентября 1955-го, на международном математическом симпозиуме в Токио, где Танияма объявил о своей гипотезе, на вопрос журналиста: “Как вы до этого додумались?” - Танияма отвечает: “Я не додумался, число мне об этом сообщило по телефону”.
Журналист, думая, что это шутка, решил её “поддержать”: “А номер-то телефона оно вам сообщило?”. На что Танияма серьёзно ответил: “Такое впечатление, что этот номер мне давно был известен, но я могу теперь сообщить его только через три года, 51 день, 15 часов и 30 минут.” В ноябре 1958 года Танияма покончил с собой. Три года, 51 день, 15 часов и 30 минут - это и есть 3,1415. Совпадение? Может быть. Но - вот ещё одно, ещё более странное. Итальянский математик Селла Квитино тоже несколько лет, как он сам туманно выражался, “поддерживал связь с одной милой цифрой”. Цифра, по словам Квитино, который уже тогда лежал в психиатрической лечебнице, “обещала сказать своё имя в день своего рождения”. Мог ли Квитино настолько лишиться разума, чтобы называть число Пи цифрой, или он так специально запутывал врачей? Не ясно, но 14 марта 1827-го года Квитино не стало.
А самая загадочная история связана с “великим Харди” (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально неженат, хотя не раз заявлял, что “обручён с царицей мира нашего”. Коллеги-учёные не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос - металлический и чуть скрипучий - долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: “Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу”.
Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?+
Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно?
Вообще говоря, подобных историй можно накопать очень много, и, разумеется, не все они трагичны.
Но, перейдём к “во-вторых”: каким образом число вообще может быть разумным? Да очень просто. Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера
Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в Пи подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число Пи это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.
Более того, при желании, можно этот хаос представить графически - чтобы убедиться, что он может быть разумным. В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав М. Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы), присутствуя на одном очень длинном и очень скучном (по его словам) собрании, чтобы как-то развлечься начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число Пи.
Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа чёрными кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых - то, что получилось, очень было похоже на нечто разумное. Особенно, после того, как Улам сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину, с помощью специального алгоритма.
Собственно, эту картинку, которую можно сравнить и с мозгом, и со звёздной туманностью, можно смело называть “мозгом числа Пи”. Примерно с помощью такой структуры это число (единственное разумное число во вселенной) и управляет нашим миром. Но - каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью неписанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые контролируются и корректируются разумным числом. Приведённые выше примеры показывают, что разумное число так же нарочно персонифицируется, общаясь с учёными как некая сверхличность. Но если так, приходило ли число Пи в наш мир, в облике обычного человека?
Сложный вопрос. Может быть приходило, может быть нет, надёжной методики определения этого нет и быть не может, но, если это число во всех случаях определено само собой, то можно предположить, что оно приходило в наш мир как персона в день, соответствующий его значению. Разумеется, идеальной датой рождения Пи является 14 марта 1592-го года (3,141592), однако, надёжной статистики по этому году, увы, нет - известно только, что именно в этом году 14 марта родился Джордж Вильерс Бэкингем - герцог Бэкингем из “Трёх мушкетёров”. Он великолепно фехтовал, знал толк в лошадях и соколиной охоте - но был ли он числом Пи? Вряд ли. На роль человеческого воплощения числа Пи мог бы идеально претендовать Дункан МакЛауд, родившийся 14-го марта 1592-го года, в горах Шотландии - если бы был реальной личностью.
Но ведь год (1592) может определяться по собственному, более логичному для Пи летоисчислению. Если принять это предположение, то претендентов на роль числа Пи становится много больше.+
Самый очевидный из них - Альберт Эйнштейн, родившийся 14 марта 1879-го. Но 1879 год это и есть 1592 год относительно 287 года до нашей эры! А почему именно 287? Да потому что именно в этом году родился Архимед, вперые в мире вычисливший число Пи как отношение длины окружности к диаметру и доказавший, что оно одинаково для любого круга!
Совпадение? Но не много ли совпадений, как думаете?
В какой личности Пи персонифицировано сегодня, не ясно, но для того, что бы увидеть значение этого числа для нашего мира, не нужно быть математиком: Пи проявляется во всём, что нас окружает. И это, кстати, очень свойственно для любого разумного существа, каковым, без сомнения, является Пи!
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1. Актуальность работы.
В бесконечном множестве чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел - и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звездную ночь не заметят… сияние. Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь.
Переходя из класса в класс я познакомился с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными. В этом году я изучил иррациональные. Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Оно встретилось мне ещё в 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». Было акцентировано внимание на то, что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Услышав об этом числе много интересного, я сам решил путём изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы:
Как давно люди знали о числе пи?
Для чего необходимо его изучение?
Какие интересные факты с ним связаны
Верно ли, что значение пи равно приближённо 3,14
Поэтому, перед собой я поставил цель: исследовать историю числа π и значимость числа π на современном этапе развития математики.
Задачи:
Изучить литературу с целью получения информации об истории числа π;
Установить некоторые факты из «современной биографии» числа π;
Практическое вычисление приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.
Объект исследования:
Объект исследования: Число ПИ.
Предмет исследования: Интересные факты, связанные с числом ПИ.
2. Основная часть. Удивительное число π.
Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.
Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу пи. В одной книге говорится: «Число пи захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире» («Fractals for the Classroom»).
Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.
Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. Но, как отмечается в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков пи».
3. Понятие числа пи
Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра . Число π (произносится «пи» ) —математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».
В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.
4. История числа "пи"
Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами . Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения Пи привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.
История числа пи, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9) 2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9) 2 , или 256/81 , т.е. π = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным, что даёт дробь 3,162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14 ;
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71 .
По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7 , а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653... В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
В первой половине XV в. обсерватории Улугбека , возле Самарканда , астроном и математик ал-Каши вычислил пи с 16 десятичными знаками. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1" . Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что пи можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое
значение, так как позволило вычислить пи с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
День рождения числа “” .
Неофициальный праздник «День числа ПИ» отмечается 14 марта, которое в американском формате (день/ число) записывается как 3/14, что соответствует приближенному значению числа ПИ.
Существует и альтернативный вариант праздника - 22 июля. Он называется "День приближенного числа Пи". Дело в том, что представление этой даты в виде дроби (22/7) также дает в виде результата число Пи. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, дата и время совпадают с первыми разрядами числа π.
Интересные факты, связанные с числом “”
Ученые Токийского университета под руководством профессора Ясумаса Канада сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени. (Книга рекордов Гиннеса).
Германский король Фридрих Второй был настолько очарован эти числом, что посвятил ему …целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить ПИ. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.
Как запомнить первые цифры числа “ ”.
Три первые цифры числа = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:
Нужно только постараться
И запомнить всё как есть:
Девяносто два и шесть.
С.Бобров. ”Волшебный двурог”
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа :
В следующих фразах знаки числа можно определить по количеству букв в каждом слове:
“Что я знаю о кругах?” (3,1416);
“Вот и знаю я число, именуемое Пи. - Молодец!”
(3,1415927);
“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать”
(3,14159265359)
5. Обозначение числа пи
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом пи английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia" , что в переводе означает "окружность" . Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера , который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число пи иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман , опираясь на исследования Ш.Эрмита , нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Поиски точного выражения пи продолжались и после работ Ф.Виета . В начале XVII в. голландский математик из КёльнаЛудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа .
6. Как запомнить число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков
Число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.
У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).
Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой послесогласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие:
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
"Пи" узнать число - ужъ знаетъ.
Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков? Сосчитай количество букв в каждом слове и напиши эти цифры подряд (первую цифру отдели запятой).
Такой точности уже вполне достаточно для инженерных расчетов. Кроме старинного существует и современный способ запоминания, на который указал в читатель, назвавшийся Георгием:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять.»
Ну а математики с помощью современных компьютеров могут вычислить практически любое количество знаков числа "Пи".
7. Рекорд запоминания числа пи
Запомнить знаки пи человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на пи.
Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа пи 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа пи.
До этого рекордным в России считалось перечислить 2000 знаков, что удалось сделать в 1999 году в Екатеринбурге. По словам Александра Беляева - руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать специальные техники запоминания и периодически тренироваться.
Заключение.
Число пи появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа пи, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа пи.
В современной математике число пи - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул.
Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа пи.
Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.
В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.
Проведенная работа мне была интересной. Я хотел узнать об истории числа π, практическом применении и думаю, что достиг поставленной цели. Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению. В своей работе я подробнее познакомился с числом - одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнал некоторые аспекты его богатейшей истории. Выяснил, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру. Посмотрел наглядно, какими способами можно получить число. На основе экспериментов вычислил приближенное значение числа различными способами. Провел обработку и анализ результатов эксперимента.
Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число. Ведь у всех первое знакомство с числом, использование его при вычислении длины окружности, площади круга происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными и уже через год - два мало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминают численное значение числа, равное 3,14.
Я попробовал приподнять завесу богатейшей истории числа, которым человечество пользуется уже много веков. Самостоятельно составил презентацию к своей работе.
История чисел увлекательна и загадочна. Я хотел бы продолжить исследования других удивительных чисел в математике. Это станет объектом моих следующих исследовательских изучений.
Список литературы.
1. Глейзер Г.И. История математики в школе IV- VI классы. - М.: Просвещение, 1982.
2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики - М.: Просвещение, 1989.
3. Жуков А.В.Вездесущее число «пи». - М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Кымпан Ф. История числа «пи». - М.: Наука, 1971.
5. Свечников А.А. путешествие в историю математики - М.: Педагогика - Пресс, 1995.
6. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика - М.: Аванта +, 1998.
Интернетресурсы:
- http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm
Http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/
14 мар 2012
14 марта математики отмечают один из самых необычных праздников - Международный день числа «Пи». Эта дата выбрана неслучайно: числовое выражение π (Пи) - 3,14 (3 месяц (март) 14 число).
Впервые с этим необычным числом школьники сталкиваются уже в младших классах при изучении круга и окружности. Число π - математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра. Т.е если взять окружность с диаметром равным единице, то длина окружности и будет равна числу «Пи». Число π имеет бесконечную математическую продолжительность, но в повседневных вычислениях используют упрощенное написание числа, оставляя только два знака после запятой, - 3,14.
В 1987 году этот день отмечался впервые. Физик Ларри Шоу из Сан-Франциско заметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта - 3/14 совпадает с числом π (π = 3,1415926…). Обычно празднования начинаются в 1:59:26 дня (π = 3,1415926 …).
История числа «Пи»
Предполагается, что история числа π начинается в Древнем Египте. Египетские математики определяли площадь круга диаметром Dкак (D-D/9) 2 . Из данной записи видно, что в то время число π приравнивали к дроби (16/9) 2 , или 256/81, т.е. π 3,160...
В VI в. до н.э. в Индии в религиозной книге джайнизма есть записи, свидетельствующие о том, что число π в то время принимали равным квадратному корню из 10, что даёт дробь 3,162...
В III в. до н.э.Архимед в своей небольшой работе "Измерение круга" обосновал три положения:
- Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
- Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
- Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее положение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10 / 71и 3*1/7, а это означает, что число «пи» равно 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
В V в. до н.э. китайский математик Цзу Чунчжи нашёл более точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. астроном и математикал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виетнашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками: он сделал 16 удвоений числа сторон многоугольников. Ф.Виетпервым заметил, что π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, оно позволило вычислить π с какой угодно точностью.
В 1706 г английский математик У.Джонсон ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру и обозначил его современным символом π первой буквой греческого слова periferia-окружность.
На протяжении длительного периода времени учёные всего мира пытались разгадать тайну этого загадочного числа.
В чем же сложность вычисления значения π ?
Число π является иррациональным: его невозможно выразить в виде дроби p/q, где p и q целые числа, данное число не может быть корнем алгебраического уравнения. Нельзя указать алгебраическое или дифференциальное уравнение, корнем которого будет π, поэтому данное число называется трансцендентным и вычисляется путём рассмотрения какого-либо процесса и уточняется за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Множественные попытки просчитать максимальное количество знаков числа π привели к тому, что сегодня, благодаря современной вычислительной технике, можно рассчитать последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.
Цифры десятичного представления числа π достаточно случайны. В десятичном разложении числа можно найти любую последовательность цифр. Предполагают, что в данном числе в зашифрованном виде есть все написанные и ненаписанные книги, любая информация, которую только можно представить, находится в числе π.
Можете сами попробовать разгадать тайну этого числа самостоятельно. Записать число «Пи» полностью, конечно не получится. Но самым любопытным предлагаю рассмотреть первые 1000 знаковчисла π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Запоминаем число «Пи»
В настоящее время с помощью вычислительной техники вычислено в десять триллионов знаков числа «Пи». Максимальное число цифр, которое смог запомнить человек составляет сто тысяч.
Чтобы запомнить максимальное количество знаков числа «Пи», используют различные стихотворные «запоминалки», в которых слова с определённым количеством букв располагаются в такой же последовательности, как цифры в числе «Пи»: 3,1415926535897932384626433832795…. Для восстановления числа необходимо подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.
Вот и знаю я число, именуемое "Пи". Молодец! (7 цифр)
Вот и Миша и Анюта прибежали
Пи узнать число они желали. (11 цифр)
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 цифра)
Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух! (25 знаков)
Можно использовать рифмованные строки, которые помогают запомнить нужное число.
Чтобы нам не ошибиться,
Нужно правильно прочесть:
Девяносто два и шесть
Если очень постараться,
Можно сразу пи прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Остались вопросы? Хотите знать больше о числе "Пи"?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:
| p | = 12arctan | 1 | + 8arctan | 1 | - 5arctan | 1 |
| 4 | 18 | 57 | 239 |
Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.
Исходник программы, включающий в себя "длинную арифметику"
Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - ... x=1/p, значит arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.
/* ** Pascal Sebah: September 1999 ** ** Subject: ** ** A very easy program to compute Pi with many digits. ** No optimisations, no tricks, just a basic program to learn how ** to compute in multiprecision. ** ** Formulae: ** ** Pi/4 = arctan(1/2)+arctan(1/3) (Hutton 1) ** Pi/4 = 2*arctan(1/3)+arctan(1/7) (Hutton 2) ** Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin) ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1/57)-5*arctan(1/239) (Gauss) ** ** with arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ... ** ** The Lehmer"s measure is the sum of the inverse of the decimal ** logarithm of the pk in the arctan(1/pk). The more the measure ** is small, the more the formula is efficient. ** For example, with Machin"s formula: ** ** E = 1/log10(5)+1/log10(239) = 1.852 ** ** Data: ** ** A big real (or multiprecision real) is defined in base B as: ** X = x(0) + x(1)/B^1 + ... + x(n-1)/B^(n-1) ** where 0<=x(i) Work with double instead of long and the base B can ** be choosen as 10^8 ** => During the iterations the numbers you add are smaller ** and smaller, take this in account in the +, *, / ** => In the division of y=x/d, you may precompute 1/d and ** avoid multiplications in the loop (only with doubles) ** => MaxDiv may be increased to more than 3000 with doubles ** => ... */ #includeКонечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи. Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.
Отношение длины окружности к ее диаметру одно и
то же для всех окружностей. Это отношение принято
обозначать греческой буквой (“пи” - начальная буква
греческого слова 
, которое и означало
“окружность”).
Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.
Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929..., которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.
В Древней Индии считали равным = 3,1622….
Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.
Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.
Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.
Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.
А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.
Простейшее измерение
Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см) , вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1 . Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
Измерение с помощью взвешивания
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m кв (=10 г) и вписанного в него круга m кр (=7,8 г) воспользуемся формулами
где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:
Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг
Рисунок 1
Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x 1 , x 2 , ..., x n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле
S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.
В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .
Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.
Программа 1REM "Вычисление пи"
REM "Метод прямоугольников"
INPUT "Введите число прямоугольников", n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT "Значение пи равно ", p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Метод Монте-Карло
Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.
Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв – число капель в квадрате, тогда
4 N кр / N кв.
Рисунок 2
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу . Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65 . Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = N кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.
Программа 2REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1
NEXT i
p = 4 * m / n
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:
| n | ||||||
| n | ||||||
Метод “падающей иголки”
Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а - расстояние между прямыми, l – длина иглы.
Рисунок 3
Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы (см. рис. 3) определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (см. рис. 4). Ясно, что
Рисунок 4
На рис. 5 изобразим графически функцию y=0,5 cos . Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (; у ) , расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:
Рисунок 5
Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c . Отсюда = 2 l с / a k.
Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.
Вычисление с помощью ряда Тейлора
Обратимся к рассмотрению произвольной функции f(х). Предположим, что для нее в точке x 0 существуют производные всех порядков до n -го включительно. Тогда для функции f(х) можно записать ряд Тейлора:
Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Реализовать данный способ, конечно, лучше всего на компьютере, для чего можно воспользоваться программой 3.
Программа 3REM "Вычисление пи"
REM "Разложение в ряд Тейлора "
INPUT n
a = 1
FOR i = 1 TO n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1) ^ i * d
a = a + f
NEXT i
p = 4 * a
PRINT "значение пи равно"; p
END
Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:
Есть очень простые мнемонические правила для запоминания значения числа : |