Тип урока: обобщающий.
Задачи:
Обучающие
: систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Развивающие
: способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, делать выводы.
Воспитывающие
: побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Ход урока
І. Организационный момент
Основная и оперативная разминки, скоростной тренажер (элементы технологии Вассермана)
ІІ. Повторение
Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы (приложения 1). Правильный ответ оценивается в один балл.
III. Проверка домашнего задания
Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее заготавливают по одному примеру на карточках для интерактивной доски из домашнего задания и комментируют их решение.
IV. Аукцион задач
1. Вычислить обьем конуса площадь основания которого равна Р, а высота h.
2. Каую работа надо совершить для того чтобы растянуть пружину на 25 см.
3. Каую работу требуется выполнить чтобы с помощью ракеты тело массой m поднять на высоту h
4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=0, х=π и графиком функции у=sin х
5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у=-х², у=0, х=-2
V. Самостоятельная работа
К каждой задаче даны четыре ответа, только один из которых верен. Учащийся должен в специальном бланке поставить номер своего варианта и зачеркнуть номер выбранного им ответа по каждому заданию.
Учитель использует шаблон с отверстиями (отверстия заштрихованны), накладывая который на бланке учащихся устанавливает правильность решения каждой из 4-х задач.
Задание самостоятельной работы в 4-х вариантах в каждом варианте по 4 задачи:
VI. Математическая эстафета
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с 10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями. (Приложение 2)
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания.
VІI. Из истории
Группа учащихся выступают сообщениями о происхождении терминов и обозначений по теме «Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках, сделавших открытия по данной теме.
VІІІ. Рефлексия
Что усвоили в этой главе?
Чему научились?
Что получили?
1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f(х)=х 9 , мы знаем что f′(х)=9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.
Допустим дана производная f′(х)=6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f(х)=х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))
Определение 1 : Функция F(x)называется первообразной для функции f(x) на отрезке , есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f(x)
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)=х 5 -5х является первообразной для функции f(х)=5х 4 -5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции
=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5х 4 -5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F(x)= неявляется первообразной для функции f(х)= .
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F(x)- одна из первообразных для функцииf(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G(x)=F(x)+C, где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
(kF)’ = kF’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция
Первообразная для f(kx+b).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ТЕМЕ
« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».
2 часа.
11 а класс с углубленным изучением математики
Проблемное изложение.
Проблемно – поисковые технологии обучения.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Активизировать мыслительную деятельность;
Способствовать усвоению способов исследова-
- обеспечить более прочное усвоение знаний.
ЗАДАЧИ УРОКА:
ввести понятие первообразной;
доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
ввести определение неопределенного интеграла;
доказать свойства неопределенного интеграла;
отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА:
повторить правила и формулы дифференцирования
понятие дифференциала.
Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.
Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.
(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-
цирования).
1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную
скорость в любой момент времени.
- V(t) = S(t).
2. Зная, что количество электричества, протекающего
через проводник выражается формулой q (t) = 3t
- 2 t,
выведите формулу для вычисления силы тока в любой
момент времени t.
- I (t) = 6t - 2.
3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-
мени, найти закон его движения.
Зная, что сила тока проходящего через проводник в лю-
определения количества электричества, проходящего
через проводник.
Учитель: Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя
имеющиеся у нас средства?
(Создание проблемной ситуации).
Предположения учащихся:
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,
обратную дифференцированию.
Операция дифференцирования сопоставляет заданной
функции F (x) ее производную.
F (x) = f (x).
Учитель: В чем заключается задача, дифференцированию?
Вывод учащихся:
Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию
F (x) производной которой является f (x) , т.е.
f (x) = F(x) .
Такая операция называется интегрированием, точнее
неопределенным интегрированием.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.
Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.
В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.
Введем определение. (кратко символически записывается
на доске).
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут
ке X, называют первообразной для функции задан-
ной на том же промежутке, если для всех x 
X
выполняется равенство
F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .
Например. (x) = 2x, из этого равенства следует, что функция
x является первообразной на всей числовой оси
для функции 2x.
Используя определение первообразной, выполните упражнение
№ 2 (1,3,6) . Проверьте, что функция F является первообраз-
ной для функции f, если
1) F (x) =
2 cos 2x , f (x) = x
- 4 sin 2x .
2) F (x) = tg
х - cos 5x , f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F (x) = x
sin x + 
, f (x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-
руя свои действия.
Является ли функция х единственной первообразной
для функции 2х?
Учащиеся приводят примеры
х + 3 ; х - 92, и т.д. ,
Вывод делают сами учащиеся:
любая функция имеет бесконечно много первообразных.
Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,
является первообразной функции х.
Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку
учителя.
Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F + C также
является первообразной для f . Иных первообразных
функция f на Х не имеет.
Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.
а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то
F (x) = f (x) для всех х Х.
Тогда для х Х для любого С имеем:
(F (x) + C) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже
первообразная f на Х.
б) Докажем, что иных первообразных на Х функция f
не имеет.
Предположим, что Ф тоже первообразная для f на Х.
Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно
Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда
Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная
функции f на Х имеет вид F + C.
Учитель: в чем заключается задача отыскания всех первообраз-
ных для данной функции?
Вывод формулируют учащиеся:
Задача отыскания всех первообразных, решается
отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб-
разная найдена, то любая другая получается из нее
прибавлением постоянной.
Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f
называют неопределенным интегралом этой
функции.
Обозначение. 
; 
- читается интеграл.
= F (x) + C, где F – одна из первообразных
для f , С пробегает множество
действительных чисел.
f - подынтегральная функция;
f (x)dx - подынтегральное выражение;
х - переменная интегрирования;
С - постоянная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.
.
Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски
Тема урока: «Первообразная и интеграл» 11 класс (повторение)
Тип урока: урок оценки и коррекции знаний; повторения, обобщения, формирования знаний, умений, навыков.
Девиз урока : Не стыдно не знать, стыдно не учиться.
Цели урока:
- Обучающие: повторить теоретический материал; отработать навыки нахождения первообразных, вычисления интегралов и площадей криволинейных трапеций.
- Развивающие: развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление), внимание, память.
- Воспитательные: воспитание математической культуры учащихся, повышение интереса к изучаемому материалу, осуществление подготовки к ЕНТ.
План конспект урока.
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний учащихся.
1.Устная работа с классом на повторение определений и свойств:
1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Чему равна первообразная для функции f(х)=х2.
3. В чем заключается признак постоянства функции?
4. Что называется первообразной F(х) для функции f(х) на хI?
5. Чему равна первообразная для функции f(х)=sinx.
6. Верно ли высказывание: «Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных»?
7. В чем заключается основное свойство первообразной?
8. Чему равна первообразная для функции f(х)=.
9. Верно ли высказывание: «Первообразная произведения функций равна произведению их
Первообразных»?
10. Что называется неопределенным интегралом?
11.Что называется определенным интегралом?
12.Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и физике.
Ответы
1. Фигуру, ограниченную графиками функций y=f(x), у=0, х=а, х=b, называют криволинейной трапецией.
2. F(x)=x3/3+С.
3. Если F`(x0)=0 на некотором промежутке, то функция F(x) – постоянная на этом промежутке.
4. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F`(x)=f(x).
5. F(x)= - cosx+C.
6. Да, верно. Это одно из свойств первообразных.
7. Любая первообразная для функции f на заданном промежутке может быть записана в виде
F(x)+C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на заданном промежутке, а С –
Произвольная постоянная.
9. Нет, не верно. Нет такого свойства первообразных.
10. Если функция у=f(x) имеет на заданном промежутке первообразную у= F(x), то множество всех первообразных у= F(x)+С называют неопределенным интегралом от функции у=f(x).
11. Разность значений первообразной функции в точках b и a для функции у = f (x ) на промежутке [ a ; b ] называется определенным интегралом функции f(x) на промежутке [ a ; b ] .
12..Вычисление площади криволинейной трапеции, объемов тел и вычисление скорости тела в определенный промежуток времени.
Применение интеграла. (дополнительно записать в тетрадях)
Величины
Вычисление производной
Вычисление интеграла
s – перемещение,
А – ускорение
A(t) =
A - работа,
F – сила,
N - мощность
F(x) = A"(x)
N(t) = A"(t)
m – масса тонкого стержня,
Линейная плотность
(x) = m"(x)
q – электрический заряд,
I –сила тока
I(t) = q(t)
Q – количество теплоты
С - теплоемкость
c(t) = Q"(t)
Правила вычисления первообразных
- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.
Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.
Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k0, то есть есть первообразная для f(kx+b).
^ 4) - формула Ньютона-Лейбница.
5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на промежутке функций и таких, что для всех x вычисляется по формуле
6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются соответственно по формулам:
Найдите неопределенный интеграл: (устно)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III Решение заданий с классом
1. Вычислите определенный интеграл: (в тетрадях, один учащийся на доске)
Задачи по рисункам с решениями:
№ 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= x3, y=0, x=-3, x=1.
Решение.
-∫ х3 dx + ∫ x3 dx = - (x4/4) | + (x4 /4) | = (-3)4 /4 + 1/4 = 82/4 = 20,5
№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=x3+1, у=0, x=0
№ 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= 4 -х2, у=0,
Решение. Сначала построим график, чтобы определить пределы интегрирования. Фигура состоит из двух одинаковых кусочков. Вычисляем площадь той части, что справа от оси у, и удваиваем.
№ 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=1+2sin x, у=0, x=0, x=п/2
F(x) = x - 2cosx; S = F(п/2) - F(0) = п/2 -2cos п/2 - (0 - 2cos0) = п/2 + 2
Вычислите площадь криволинейных трапеций, ограниченных графиками известных вам линий.
3. Вычислите по рисункам площади заштрихованных фигур (самостоятельная работа в парах)
Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры
Задание: Вычислите площадь заштрихованной фигуры
III Итоги урока.
а) рефлексия: -Какие выводы от урока вы сделали для себя?
Есть ли каждому над чем поработать самостоятельно?
Полезен ли был для вас урок?
б) анализ работы учащихся
в) Дома: повторить, свойства все формулы первообразных, формулы нахождения площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения. № 136 (Шыныбеков)
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №24 р. п. Юрты
Иркутской области.
Учитель Трушкова Наталья Евгеньевна.
Нестандартные формы закрепления, проверки знаний и умений учащихся по математике.
Национальная образовательная инициатива «Наша новая школа» предполагает применение в образовательном процессе индивидуального подхода, использование таких образовательных технологий и программ, которые развивают у каждого ребёнка интерес к процессу обучения. Решение этих задач требует обеспечения компетентностного подхода в обучении, взаимосвязи академических знаний и практических умений.
Огромные возможности для активизации познавательного интереса учащихся имеют уроки обобщения и систематизации знаний, интегрированные уроки, нетрадиционные уроки.
Важный вопрос, который волнует каждого учителя,- как сделать уроки математики интересными, нескучными и запоминающимися? Предлагаемый материал помогает решить эту задачу, призван помочь в организации нестандартных уроков. На уроке прослеживается связь теории и практики, сознательности и активности, положительной мотивации и благоприятного эмоционального фона. Эти принципы предполагают создание атмосферы сотрудничества между учителем и учащимися, между самими учащимися, стимулирование интереса учащихся.
Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. От того, как он организован, на что нацелен, существенно зависит эффективность учебной работы. Поэтому в своей практике я уделяю серьёзное внимание способам организации контроля, его содержанию.
Урок-зачет (тематический)
по теме «Первообразная и интеграл». 11 класс. (2 урока).
Тема: Первообразная и интеграл.
Цели:
1. Проверить теоретические знания учащихся по теме.
2. Проверить умения, навыки учащихся по нахождению первообразной, вычислению площади криволинейной трапеции, вычислению интегралов.
3. Выявить пробелы в знаниях учащихся с целью их устранения перед контрольной работой.
4. Воспитывать у учащихся ответственное отношение к учёбе, ответственность перед товарищами, сопереживание.
Универсальные учебные действия (УУД), которые будут формироваться в ходе урока
Личностные:
Сформированность коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками;
Сформированность ответственного отношения к учению;
Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
Слушать и понимать других;
Строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами;
Коммуникативные:
Согласованно работать в группе:
Контроль оценки и действий партнёра;
С достаточной точностью выражать свои мысли.
Регулятивные:
Контроль (сличение с заданным эталоном).
Коррекция и оценка знаний и способов действий.
Оборудование:
а) компьютер, мультимедийный проектор, экран, слайды.
б) карточки;
в) раздаточные доски;
г) мел, тряпочки;
д) жетоны;
е) указатели столов.
Ход урока.
Сообщение темы и целей урока (тема урока записана на доске).
Сообщение учителем итогов подведения зачёта (таблица записана на доске).
Класс работает по группам 4 – 5 человек (столы сдвинуты по два).
Представитель каждой группы выходит к столу учителя и берет теоретический вопрос (карточки с вопросами перевернуты). Группа готовится к ответу таким образом, чтобы любой ученик группы мог ответить на этот вопрос у доски.
На подготовку вопроса теории – 10 минут. По истечении этого времени каждой группе даются на подносах жетоны, где на одном из них стоит знак «+». Ученики по берут жетоны. Тот ученик, которому достался жетон с «+», идёт отвечать к доске на вопрос теории.
Группы готовят ответы на теорию на раздаточных досках, которые затем используют при ответе.
Каждый теоретический вопрос оценен баллом «3», кроме карточки №5. За ответ по карточке №5 дается 5 баллов.
Одна группа отвечает, остальные слушают и рецензируют ответ, дают оценку ответу (за 1 балл).
4.Проверка теории по карточке №1. Слайд 1.
Проверка теории по карточке №2. Слайд 2.
(за правильный ответ на примеры – 1 балл).
Проверка теории по карточке №3. Слайд 3.
(за правильный ответ на примеры – 1 балл).
Проверка теории по карточке №4. Слайд 4.
(за правильный ответ на примеры – 1 балл).
Проверка теории по карточке №5. Слайд 5.
(за правильный ответ на примеры– 1 балл).
После проверки теоретического материала объявляются итоги.
Во время перемены столы расставляются обычным образом.
1 ученик у доски:
После этого учащимся раздаются задания по вариантам (за каждое правильно решенное задание – 2 б); всего – 10 баллов.
| Вариант 1. |
| а) f(x)=2 3; б) f(x)= +x 2 на (0;). |
| Вариант 2. |
| Найдите первообразную для функции: а) f(x)= -2 ; б) f(x)= - x 2 на (0;). |
Те учащиеся, которые быстро решат все задания, получают дополнительное задание (2 примера) по вариантам. (Каждый пример – 3 балла).
После того, как все карточки сданы на проверку, у доски решается задание (1 ученик у доски), остальные решают в рабочих тетрадях.
Если останется время:
| 1 вариант | 2 вариант | ||
| Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +3; у=2х. | Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= -х 2 +2; | ||
| Вычислите интегралы: |
|||
 |
| ||
Объявляются итоги по зачету.
Для подсчета баллов удобно сделать таблицу:
| упражнения | Оценка теории | Работа по вариантам по 2б.(макс.10б.) | Дополнительные карточки | Дополнительные задания по 3 б. | ||||||
| Попова Е. | ||||||||||
2 вариант
Такая же таблица делается для 1 варианта. Для подсчёта баллов привлекаются учащиеся другого 11 класса.